6.3.1平面向量的基本定理 导学案-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

高一数学必修第二册第六章导学案 6.3.1 平面向量的基本定理 6.3.1 平面向量的基本定理 【学习目标】 1、知道平面向量基本定理； 2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步应用向量解决实际问题； 3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示. 【自主学习】 （一）复习回顾 1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ （1）|λ|= ；（2）λ>0时λ与方向 ；λ<0时λ与方向 ；λ=0时λ= 2．运算定律 (1)结合律：λ(μ)= ； (2)分配律：(λ+μ)= ， λ(+)= . 3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 . （二）平面向量基本定理 平面向量基本定理： 说明： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的 ; (2) 基底不惟一，关键是 ； (3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式 . 即λ1，λ2是被，，唯一确定的数量 【合作探究】 1、 已知向量， 求作向量2.5+3. 2、如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和 3、已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4 4、（1）如图，，不共线，=t (tR)用，表示. （2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线. 5 、已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线. 【当堂检测】 一、单选题 1．如图，是所在平面内一点，若，是线段的中点，则（  ） A． B． C． D． 2．在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（    ） A．0 B． C． D．3 3．在△中，为边上的中线，为的中点，则（  ） A． B． C． D． 4．已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，，点E是的中点，点F满足，且，则（    ） A．9 B． C． D． 6．在中，已知，，与交于，则（    ） A．     B．     B． C．     D． 二、多选题 7．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（    ） A．λ+μ (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量 B．对于平面α内任一向量，使=λ+μ的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1+μ1与λ2+μ2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1+μ1=λ(λ2+μ2) D．若实数λ，μ使得，则λ=μ=0 8．如图，在等腰直角中，斜边，且，点P是线段AD上任一点，则的可能取值是（    ） A． -1 B．0 B． C．4 D．5 三、填空题 9．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相反，则实数k=___. 10．已知P，Q分别是四边形ABCD的对角线AC与BD的中点，，且是不共线的向量，则向量___________. 11．在中，，，为的垂心，且满足，则___________. 12．如图，在矩形中，，分别为线段，的中点，若，，则的值为___________. 四、解答题 13．在平行四边形ABCD中，，， （1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用分别表示. （2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用表示. 14．如图，平面内有三个向量其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值. 15．已知是平面上两个不共线的向量且 （1