6.3.1 二项式定理-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

直线 6.3.1 二项式定理 问题导入 上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开的问题. 问题1：我们知道， (1)观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ (2)根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？ (3)进一步地，你能写出的展开式吗？ 新知探索 l 我们先来分析的展开过程.根据多项式乘法法则， 可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项(选或)，再从另一个中选一项(选)，就得到展开式的一项.于是，由分布乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有项，而且每一项都是的形式. 新知探索 l 下面我们再来分析一下形如的同类项的个数. 当时，，这是由2个中都不选得到的.因此，出现的次数相当于从2个中选取0个(都取)的组合数，即只有1个. 当时，，这是由1个中选，另1个中选得到的.由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即共有2个. 由上述分析可以得到. 当时，，这是由2个中都选得到的.因此，出现的次数相当于从2个中选取2个(不取)的组合数，即只有1个. 新知探索 思考1：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？ 从上述对具体问题的分析得到启发，对于任意正整数，我们有如下猜想：. (1) 下面我们对上述猜想的正确性予以说明. 由于是个相乘，每个在相乘时有两种选择，选或，而且每个中的或都选定后，才能得到展开式的一项.因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，的展开式共有项，其中每一项都是的形式. 新知探索 l 对于每个，对应的项是由个中选，另外个中选得到的.由于选定后，的选法也随之确定，因此，出现的次数相对于从个中取个的组合数.这样，的展开式中，共有个，将它们合并同类项，就可以得到上述二次展开式. . 叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项， 用表示，即通项为展开式的第项： 新知探索 l 二项式定理中，若设，，则得到公式： . 新知探索 答案：×，×，×. 辨析1.判断正误. (1)展开式中共有项.( ) (2)二项式与展开式中第项相同.( ) (3)是展开式中的第项.( ) 辨析2.的二项展开式中第4项是______. 答案：. 例析 例1.求的展开式. l 解：根据二项式定理， . 例析 例2.(1)求的展开式的第4项的系数；(2)求的展开式中的系数. l 解：(1)的展开式的第4项是 解：(2)的展开式的通项是 根据题意，得 因此，的系数是. 练习 题型一：二项式定理的正用与逆用 例1.(1)求二项式的展开式； (2)化简. 解：(1) . (2)原式. 练习 方法技巧： 二项式定理的双向功能 (1)正用：将二项式展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开.对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开. (2)逆用：将展开式合并成二项式的形式，即二项式定理从右到左使用是合并.对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律. 练习 变1.(1)若，则 的值为______. 解：根据的解析式，逆用二项式定理，得. 显然，即为偶函数， ∴. 练习 变1.(2)求的展开式. 解：[法一] 解：[法二] 练习 题型二：与展开式的特定项有关的问题 例2.(1)的展开式中，常数项是( ). A. B. C. D. 解：(1)展开式的通项， 令，解得. 所以常数项为. 答案：D. 练习 例2.(2)求的展开式中的有理项. 解：(2)的展开式的通项为 ，使为有理项，必须是4的倍数， 所以，，，故共有3个有理项，分别是， ， . 练习 方法技巧： 求二项展开式的特定项的常见题型及处理方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 练习 变2.若的展开式中的系数为30，则等于_____. 解：依题意，注意到的展开式的通项公式是，的展开式中含(当时)、(当时)项的系数分别为、，因此由题意得，解得. 答案：2. 练习 题型三：二项式系数与项的系数问题 例3.(1)求二项式的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； (2)求的展开式中的系数. 解：(1)由已知得二