2.3 简单的三角恒等变换课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

2.3 简单的三角恒等变换 第2章 学习目标 1.掌握半角的正弦、余弦和正切以及辅助角公式，能运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式. 2.通过半角公式的推导，了解它们之间的关系，以及它们与倍角公式之间的内在联系，还有角与角之间的转化关系. 重点：半角公式、积化和差与和差化积公式. 难点：半角公式正负号的选择、积化和差与和差化积公式以及万能公式的识记. 学习目标 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 1.半角公式 尝试与发现 你能利用倍角公式C2α推导出以下公式吗？ sin2 ＝，cos2＝，tan2 ＝. 提示：事实上，由C2α可得cos α＝＝1-2sin2， 因此2sin2 ＝1-cos α，即 Sin2 ＝.　　　 ① 类似地，因为cos α＝＝2cos2 ， 所以有2cos2＝1+cos α，即cos2＝.　 ② 高中数学 必修第二册 湖南教育版 ②两个等式左边、右边分别相除，即可得tan2＝.　 ③ 一般地，①②③可以变形为 , , , 其中根号前的正负号， 由角所在象限确定. 一般称这3个公式为半角公式. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 第一、三象限 第一、三象限 第二、四象限 第二、四象限 sin cos tan 2.对于和，α∈R，但是使用时，要保证α≠（2k+1）π（k∈Z）. 1.半角公式中根号前符号的一般处理方法： （1）若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负符号； （2）若给出角α的具体范围（即某一区间），则先求角所在范围，然后根据角所在范围确定符号； （3）若给出的角α是某一象限的角时，则根据下表决定符号： 解读延伸 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例1 已知|cos θ|＝，且π<θ<3π，求，，的值. 解： ∵ |cos θ|＝，π<θ<3π，∴ cos θ＝-，π<<π， ∴＝-＝-＝-，＝-＝-＝-，＝＝2. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 拓展：半角正切公式的有理表达式： 这两个公式不用判断符号，更好用！ 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例2 计算：＝　　　　. -1 解析： ＝＝＝-1. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.万能公式 当α≠2kπ+π（k∈Z）时，sin α＝，cos α＝，tan α＝. 推导： 当α≠2kπ+π（k∈Z）时，利用二倍角公式及sin2+cos2＝1，可得 sin α＝＝＝，cos α＝cos2-sin2＝＝. 将上面两式相除，可得tan α＝＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 3.和差化积公式 cos α+cos β＝， cos α-cos β＝-， sin α+sin β＝， sin α-sin β＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 用和角与差角公式推导 将角，分别用字母A，B表示，设A＝，B＝，则A+B＝α，A-B＝β. 于是cos α+cos β＝cos（A+B）+cos（A-B）＝cos Acos B-sin Asin B+cos A·cos B+sin Asin B ＝2cos Acos B＝， cos α-cos β＝cos（A+B）-cos（A-B）＝cos Acos B-sin Asin B-（cos Acos B+sin Asin B） ＝-2sin Asin B＝-. 类似地可以证明sin α+sin β＝，sin α-sin β＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 4.积化和差公式 cos αcos β＝［cos（α+β）+cos（α-β）］， sin αsin β＝-［cos（α+β）-cos（α-β）］， sin αcos β＝［sin（α+β）+sin（α-β）］， cos αsin β＝［sin（α+β）-sin（α-β）］. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 （1）将公式cos（α+β）＝cos αcos β-sin αsin β，cos（α-β）＝cos αcos β+sin αsin β 左右两边分别相加，得cos（α+β）+cos（α-β）＝2cos αcos β. 将上式两边同除以2，得cos αcos β＝［cos（α+β）+cos（α-β）］. （2）将公式cos（α+β）＝cos αcos β-sin αsin β，cos（α-β）＝cos αcos β+sin αsin β 左右两边分别相减，得cos（α+β）-cos（α-β）＝-2sin αsin β. 将上式两边同除以-2，得