2.1.3 两角和与差的正切公式课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

2.1 2.1.3 两角和与差的正切公式 第2章 两角和与差的三角函数 学习目标 1.理解两角和与差的正切公式的推导过程. 2.能用两角和与差的正切公式求值、化简、进行简单的恒等变形. 重点：两角和与差的正切公式的应用. 学习目标 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 1.两角和与差的正切公式及其推导 思考：在两角和与两角差的正弦、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan（α+β）和tan（α-β）吗？ 其中α，β应该满足什么条件？ 高中数学 必修第二册 湖南教育版 注意：从推导的过程可以知道，α，β有一定的取值范围，即 α≠kπ+（k∈）， β≠kπ+（k∈）， α±β≠kπ+（k∈）， 这样，才能保证tan α，tan β及tan（α±β）都有意义. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 归纳总结： 两角和的正切公式 两角差的正切公式 公式的结构特征： （1）公式的右边为分式形式，其中分子为tan α，tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和. （2）公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同，与分母上的加减号相反.符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. 注意：当α，β，α±β角的正切值不存在时，不能使用上述公式，但可以用诱导公式或其他方法解题. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 想一想：对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？ 提示：tan αtan β，tan α±tan β，tan（α±β）三者知二求一. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例1 求下列各式的值：（1）；（2）. 解：（1）＝tan（75°-15°）＝tan 60°＝. （2）＝＝tan（60°+15°）＝tan 75° ＝tan（30°+45°）＝＝＝2+. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例2 tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是　　　　. 解析： ∵ tan 60°＝＝，∴ tan 23°+tan 37°＝-tan 23°tan 37°，∴ tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°＝. 答案： 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2．两角和与差的正弦公式的特例 利用两角和与差的正切公式可以推导诱导公式： tan（π-α）＝＝-tan α；tan（π+α）＝＝tan α. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 1.给角求值 例1 求值：（1）tan 15°+tan 75°；（2）. 解：（1）tan 15°+tan 75°＝tan（45°-30°）+tan（45°+30°） ＝+＝+＝＝4. （2）（方法1）＝＝tan（45°-15°）＝. （方法2）因为tan 15°＝2-，所以＝＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 反思感悟 解给角求值问题的基本思路 给角求值问题中，所给角往往都是非特殊角，解决这类问题的基本思路有： （1）逆用公式或运用公式变形，化为特殊角的三角函数值； （2）化为正、负相消的项，消去求值； （3）分子、分母出现公约数时进行约分求值. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 1.的值为　　　　.   跟踪训练 解析：原式＝＝＝tan 15°＝tan（45°-30°）＝＝＝2-. 2.（1+ tan 21°）（1+tan 22°）（1+tan 23°）·（1+tan 24°）的值为　　　　.   解析：（1+tan 21°）（1+tan 24°）＝1+tan 21°+tan 24°+tan 21°tan 24° ＝1+tan（21°+24°）（1-tan 21°tan 24°）+tan 21°tan 24° ＝1+（1-tan 21°tan 24°）·tan 45°+tan 21°tan 24°＝1+1-tan 21°tan 24°+tan 21°tan 24°＝2， 同理可得（1+tan 22°）（1+tan 23°）＝2， 所以原式＝2×2＝4. 2- 4 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.给值求值 例2 已知sin α＝，α∈，cos β＝-，β∈，则tan（α+β）＝　 　　. 解析：由sin α＝，α∈，得cos α＝-＝-＝-，∴ tan α＝-. 又由cos β＝-，β∈，得sin β＝-＝-＝-，∴ tan β＝. ∴ tan（α+β）＝＝＝＝. 反思感悟 本题是直接利用公式计算求值的基础题，其目的是让学生熟练掌握公式的应用，从而提高运算能力. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 已知tan（α+β）＝，＝，则的值等于 （　　） A. B. C. D. 跟踪训练 解析：