2.1.2 两角和与差的正弦公式课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

2.1 2.1.2 两角和与差的正弦公式 第2章 两角和与差的三角函数 学习目标 1.理解两角和与差的正弦公式的推导过程. 2.能用公式求值、化简，进行简单的恒等变形. 重点：两角和与差的正弦公式的应用. 学习目标 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 Sα+β：sin（α+β）＝sin αcos β+cos αsin β； Sα-β：sin（α-β）＝sin αcos β-cos αsin β. 两角和的正弦公式 两角差的正弦公式 你发现这两组公式有何结构特征？ 正余余正，符号相同. 1.两角和与差的正弦公式及其推导 根据两角和与差的余弦公式（即Cα+β与Cα-β）可以证明如下的 两角和与差的正弦公式. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 注意 1.公式的推导 （1）上一节的练习中，我们用两角差的余弦公式证明了sin α＝这一诱导公式，若将α替换为α-β，可得sin（α-β）＝＝＝cos β-sin β＝sin αcos β- cos αsin β. （2）在两角差的正弦公式中，若将β替换为-β，则可得两角和的正弦公式. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 注意 2.S（α±β）与C（α±β）的联系 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例1 sin 20°cos 40°+cos 20°sin 140°＝ （　　） A.- B. C.- D. 解析： sin 20°cos 40°+cos 20°sin 140°＝sin 20°cos 40°+cos 20°sin 40° ＝sin（20°+40°）＝sin 60°＝. B 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2．两角和与差的正弦公式的特例 和（差）角公式是诱导公式的推广，诱导公式是和（差）角公式的特殊形式. 利用和（差）角公式可以推导诱导公式： ＝cos α±sin α＝cos α； sin（π±α）＝sin πcos α±cos πsin α＝±sin α； ＝cos α±sin α＝-cos α； sin（2π±α）＝sin 2πcos α±cos 2πsin α＝±sin α. 当α，β中有的整数倍角时，使用诱导公式更简单，如＝cos α. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 1.给角求值 例1 求值：（1）＝　　　　；（2）sin 32°cos 28°+sin 58°cos 62°＝　　　　； （3）sin 65°cos 20°-cos 65°sin 20°＝　　　　. 解析：（1）＝. （2）（方法1）原式＝sin 32°cos 28°+cos 32°sin 28°＝sin（32°+28°）＝sin 60°＝. （方法2）原式＝cos 58°cos 28°+sin 58°sin 28°＝cos（58°-28°）＝cos 30°＝. （3）sin 65°cos 20°-cos 65°sin 20°＝sin（65°-20°）＝sin 45°＝. 　 高中数学 必修第二册 湖南教育版 反思感悟 运用两角和与差的正弦公式求三角函数值主要有以下几种形式：一是将非特殊角转化为特殊角的三角函数，如sin 15°＝sin（45°-30°）＝sin（60°-45°）＝；二是逆用公式凑成特殊角求值，如sin 13°cos 17°+ cos 13°sin 17°＝sin（13°+17°）＝sin 30°＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 1.sin 59°cos 89°-cos 59°sin 89°的值为 （　　） A.- B. C.- D.- 跟踪训练 解析：sin 59°cos 89°-cos 59°sin 89°＝sin（59°-89°）＝sin（-30°）＝-sin 30°＝-. 2.sin 160°cos 10°+cos 340°sin 10°＝ （　　） A.- B. C.- D. 解析：sin 160°cos 10°+cos 340°sin 10°＝sin 20°cos 10°+ cos 20°sin 10°＝sin（20°+10°）＝sin 30°＝. A D 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.给值求值 例2 若α，β∈（0，π），＝-，＝，则＝ （　　） A. B.- C. D.- 解析： ∵ α，β∈（0，π），∴，∈，∴ α-∈， -β∈. 又<0， >0，∴ α-∈， -β∈， ∴＝