2.1.1 两角和与差的余弦公式课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

2.1 2.1.1 两角和与差的余弦公式 第2章 两角和与差的三角函数 学习目标 1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明问题的方法，进一步体会向量法的作用. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式. 3.会用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数式的求值、化简. 重点：应用两角和与差的余弦公式求值、化简. 难点：两角差的余弦公式的推导及两角和与差的余弦公式的综合应用 . 学习目标 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 1．两角差的余弦公式 此式称为两角差的余弦公式，通常简记为Cα-β. 提示：（1）在公式Cα-β中，α，β对任意角都成立. （2）公式的结构特征：左边是两角差的余弦，右边是这两角余弦之积与正弦之积的和，口诀记忆为“余余正正，符号不同.” 高中数学 必修第二册 湖南教育版 的证明： 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，设α，β的终边与单位圆的交点分别为P，Q， 则P（cos α，sin α），Q（cos β，sin β）， 因此＝　 　，＝　 　. 从而有＝（cos α，sin α）·（cos β，sin β）＝cos αcos β+sin αsin β. 注意 （cos α，sin α） （cos β，sin β） 另一方面，由图可知，存在k∈Z，使得〈〉＝α-β+2kπ或〈〉＝β-α+2kπ， 因此cos〈〉＝cos（α-β）， 又因为||＝||＝1，所以＝||||cos〈〉＝cos（α-β）. 故cos（α-β）＝cos αcos β+sin αsin β. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例1 cos（-15°）的值是 （　　） A. B. C. D. 解析： cos（-15°）＝cos 15°＝cos（45°-30°）＝cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30° ＝×+×＝. 答案： C 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2．两角和的余弦公式 思考：在公式Cα-β中α，β可以是任意角，由此你能 推出两角和的余弦公式吗？ 证明：因为α+β＝α-（-β），所以 cos（α+β）＝cos［α-（-β）］ ＝cos αcos（-β）+sin αsin（-β） ＝cos αcos β-sin αsin β. 两角和的余弦公式Cα+β： 高中数学 必修第二册 湖南教育版 公式结构特征的对比识记： 高中数学 必修第二册 湖南教育版 对于两角和与差的余弦公式要注意以下几点 （1）公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是 几个角的组合. （2）结构特征：左边“两角和（差）的余弦”，右边是“两角的 余弦积与正弦积的差（和）”. 可记忆为：“余余正正符号相反”，“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和的余弦展开后的两项之间用“-”，两角差的余弦展开后的两项之间用“+”. （3）有了公式Cα+β，Cα-β，我们只要知道cos α，cos β，sin α， sin β的值，就可求得cos（α+β），cos（α-β）的值. （4）要注意公式的正用、逆用.例如： 正用：cos（2α+β）＝cos［α+（α+β）］＝cos αcos（α+β）-sin αsin（α+β）； cos（2α+β）＝cos 2αcos β-sin 2αsin β. 逆用：cos（α+β）cos α+sin（α+β）sin α＝cos［（α+β）-α］＝cos β. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例2 求cos（-75°）. 解：cos（-75°）＝cos 75°＝cos（45°+30°） ＝cos 45°cos 30°-sin 45°sin 30° ＝×-×＝. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 1.给角求值 例1 求值：（1）sin 285°；（2）sin 460°sin（-160°）