1.7 平面向量的应用举例课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 1.7 平面向量的应用举例 学习目标 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题. 2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 核心素养：数学抽象、直观想象、数学运算 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 一、平面向量在平面几何中的应用 1.向量在平面几何中的应用 平面几何经常涉及距离（线段长度）和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题.用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，便得到几何问题的结论. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.常见问题类型及向量解法 设 问题类型 解题方法 几何法 坐标法 平行或共线问题 全等、相似问题 垂直问题 a⊥ba·b＝0 求角问题 cos〈a，b〉＝ ＝ 长度问题 ＝ ＝或||＝（ 高中数学 必修第二册 湖南教育版 3.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. 4.几何法和坐标法 （1）几何法： ①选取适当的基（夹角、模易知），将题中涉及的向量用基表示； ②利用向量的运算法则、运算律或性质计算； ③把运算结果“翻译”成几何关系. （2）坐标法： ①建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化； ②将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算； ③把运算结果“翻译”成几何关系. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 解析 如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则， .∴＝ ，＝. ∴ cos∠DOE＝＝. 例 1 正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则cos∠DOE＝　　　　. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 二、向量在物理中的应用举例 1.平面向量在物理中的应用题型 类型 向量方法 说明 力的合成与分解 向量的线性运算 力的合成与分解就是向量的加减法 加速度、速度、位移问题 向量的线性运算 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算 动量问题 向量的数乘运算 动量涉及物体的质量m，物体运动的速度v 功的问题 向量的数量积 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它可正、可负，也可为零 2.用向量方法解决物理问题的“三步曲” （1）把物理问题转化为数学问题； （2）建立以向量为主体的数学模型，求出数学模型的有关解； （3）回到问题的初始状态，解决相关物理问题，解释相关物理现象. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 2 在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小. 解 如图所示，两根绳子的拉力之和+＝， 且||＝||＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°. 在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°， 则∠OAC＝90°，从而||＝||·cos 30°＝（N）， ||＝||·sin 30°＝150（N），||＝||＝150 N. 答：与铅垂线成30°角的绳子的拉力是N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 典例剖析 一、平面几何中的向量方法 1.平面几何中的垂直问题 例 1 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明 （方法1）设正方形ABCD的边长为1，AE＝a（0<a<1），则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1-a，AP＝a， ∴·＝（+）·（+）＝·+·+·+· ＝1××cos 180°×cos 90°+×cos 45°+cos 45° ＝. ∴⊥，即 （方法2） 设正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系. 设，则D∴，＝ ∵·＝∴⊥，即 高中数学 必修第二册 湖南教育版 方法总结：垂直问题中的几何法和坐标法(以AB⊥CD为例.) 1.几何法 （1）选择一组向量作基，用基表示和； （2）证明·的值为0，从而得到⊥； （3）给出几何结论AB⊥CD. 2.坐标法 （1）建立适当的平面直角坐标系，求得＝＝ （2）计算得出从而得到⊥； （3）给出几何结论AB⊥CD. 高中数学 必修第二册