1.3 向量的数乘课件-2022-2023学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

第1章 1.3 向量的数乘 学习目标 1.通过实例分析，掌握向量的数乘及其几何意义. 2.掌握向量共线的定义以及向量共线（平行）的充要条件. 3.掌握向量的夹角、单位向量等概念. 4.掌握向量的数乘运算律，会进行向量的线性运算. 核心素养：数学建模，数学抽象，直观想象，数学运算 高中数学 必修第二册 湖南教育版 新知学习 一、向量的数乘 1.向量的实数倍 一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，记作λa，称为a的λ倍，它的长度|λa|＝|λ||a|. 当λ≠0且a≠0时，λa的方向 当λ＝0或a＝时，λa＝0a＝或λa＝λ 2.向量的数乘 求向量实数倍的运算称为向量的数乘. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 3.向量数乘的代数意义和几何意义 （1）代数角度 ① λ是实数，是向量，它们的乘积仍是向量，数乘向量的大小和方向取决于实数λ的值以及向量的方向. ②的条件是 （2）几何角度（向量数乘的几何意义） 向量数乘的几何意义就是把向量的反方向放大或缩小. ①当|λ|>1时，表示向量的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸长为原来的|λ|倍； ②当|λ|<1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上缩短为原来的|λ|. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 1［多选题］（1）若，则下列关系式可能成立的是 （　） A. B.C. D. （2）若点C是线段AB的三等分点，则下列关系可能成立的是 （　　） A.＝ B.＝ C.＝- D.＝ 解析：（1）若方向相同，则方向相反，则故选AB. （2）当为靠近点的三等分点时，＝-. 当为靠近点的三等分点时，＝-，＝-＝.故选CD. CD AB 高中数学 必修第二册 湖南教育版 【小贴士】 ①非零向量平行有如图所示的几种情况：     ②因为零向量与任意向量平行，所以向量平行不具有传递性，即a∥b，b∥c推不出a∥c. 二、共线向量 1.向量共线的定义 （1）一般地，如果非零向量a，b方向相同或相反，那么可以将它们用同一条直线上的有向线段或相互平行的有向线段表示. 因此，当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行，并且用符号“∥”来表示它们共线（或平行），记作a∥b. （2）规定：零向量与所有的向量平行，即对于任意向量a，都有∥a. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 2 ［多选题］下列说法正确的是 （　　） A.向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反 B.若a与b不共线，则a与b都是非零向量 C.若a∥b，b∥c，则a∥c D.若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是共线向量 BD 解析：因为两平行向量a与b可能有零向量，而零向量与所有的向量都平行，且零向量的方向是任意的，A错误； 假设a与b中至少有一个是零向量，则必有a与b共线，B正确； 由于零向量与所有的向量平行且零向量的方向是任意的，故向量平行不具有传递性，C错误. 若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是共线向量，D正确. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 2.向量共线的充要条件 （1）充要条件： 由向量平行和向量数乘的定义可以推知：两个向量平行其中一个向量是另一个向量的实数倍. 即a∥b 存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb. 【充要条件剖析】 ①充要条件包含了两个方面 a.判定定理：若存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb，则a与b共线； b.性质定理：若a与b共线，则存在实数λ，使得b＝λa或a＝λb. ②变形 a.非零向量a，b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 或写成：非零向量a，b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a＝λb. b.当b＝0，a≠0时，则存在唯一一个实数λ＝0，使b＝λa. c.当a＝0，b≠0时，则存在唯一一个实数λ＝0，使a＝λb. d.当a＝b＝0时，则存在无数个实数λ，使a＝λb. ③由充要条件可知，若a，b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 （2）向量共线充要条件的应用 ①证明两向量共线； ②通过向量共线求参数λ； ③证明两线段平行或共线； 对于线段AB与CD，若存在实数λ，使＝，则AB与CD平行或共线. （平行或共线取决于直线AB，CD有无公共点，有公共点则共线，无公共点则平行.） ④证明三点共线. 要证A，B，C三点共线，只需证有公共点的两向量共线，即∥或∥或∥，故只需证＝（）或＝（）或＝（）. 高中数学 必修第二册 湖南教育版 例 3 对于非零向量a，b， “a+b＝0”是“a//b ”的（　　） A.充分不必要条件