专题提优12 因式分解的其他方法拓展-2022-2023学年七年级数学下册专题提优及章节测试卷（苏科版）

专题12 因式分解的其他方法拓展（原卷版） 类型一 分组分解法 典例1 先阅读下列材料，再分解因式： 阅读：要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出a，再把它的后两项分成一组，并提出b，从而得到a（m+n）+b（m+n）．这时，由于a（m+n）与b（m+n）又有公因式（m+n），于是可提出公因式（m+n），从而得到（m+n）（a+b）．因此有 am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）． 也可以将am+an+bm+bn中的一、三项并为一组，二、四项并为一组进行分解，如 am+an+bm+bn＝am+bm+an+bn＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）， 这种分解因式的方法叫做分组分解法． 知识运用：请用分组分解法分解因式： （1）a2﹣ab+ac﹣bc； （2）3ax+4y+4ay+3x； （3）xy2﹣2xy+2y﹣4． 针对训练 1．（2022秋•广饶县校级期末）某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法﹒但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了．过程为： m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）． “社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）分解因式：a3﹣3a2﹣6a+18； （2）分解因式：x2+y2﹣2xy﹣9； （3）已知：m+n＝5，m﹣n＝1．求：m2﹣n2﹣2n+2m的值； （4）△ABC的三边a，b，c满足a2+ab+c2﹣bc＝2ac，判断△ABC的形状并说明理由． 类型二 十字相乘法 典例2（2022春•金牛区期中）由整式的乘法运算法则（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）． 通过观察可如可把acx2+（ad+bc）x+bd中的x着作是未知数．a、b、c、d在作常数的二次三项式：通过观察acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+2）（cx+d）．可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图1，此分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式2x2+7x+3的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2，则2x2+7x+3＝（x+3）（2x+1）． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法因式分解：4x2+9x﹣13； （2）用十字相乘法因式分解：（x+y）2﹣12（x+y）+35； （3）结合本题知识，因式分解：2x2+8xy+8y2﹣7x﹣14y+6． 针对训练 2．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式x2﹣5x+c可以用十字相乘法因式分解，那么下列c的取值正确的是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2021秋•六盘水月考）由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）． 示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． （1）尝试：分解因式：x2+6x+8＝（x+　 　）（x+　 　）； （2）应用：请用上述方法解方程：①x2﹣3x﹣4＝0；②x2﹣7x+12＝0． 类型三 拆项添项法 典例3 （2022春•吴兴区校级期中）题目：“分解因式：x2﹣120x+3456．” 分析：由于常数项数值较大，则常采用将x2﹣120x变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行． 解：x2﹣120x+3456 ＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456 ＝（x﹣60）2﹣144 ＝（x﹣60）2﹣122 ＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12） ＝（x﹣48）（x﹣72） 通过阅读上述题目，请你按照上面的方法分解因式： （1）x2﹣140x+4875 （2）4x2﹣4x﹣575． 针对训练 1．（2021春•祁阳县期末）请看下面的问题：把x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲•热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使