6.4 平面向量基本定理及坐标表示（三大题型）-2022-2023学年高一数学教材配套题型讲解过关练（人教A版2019必修第二册）

6.4 平面向量基本定理及坐标表示 · 考纲要求 1．了解平面向量基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． · 知识解读 知识点①平面向量基本定理 1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点②平面向量的坐标运算 1．向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． 2．向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 知识点③平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ． 则a·b＝x1x2＋y1y2． 1．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0． 2．cos θ＝＝． 知识点④常用结论 已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为；已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为． · 题型讲解 题型一、平面向量基本定理 例1．设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组： ①与；②与；③与；④与． 其中可作为该平面其它向量基底的是(　　) A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 例2．已知向量{a，b}是一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________． 例3．如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，，． 例4．如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______． 例5．(2022·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G．若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________． 题型二、平面向量坐标运算 例1．如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b．四边形OABC为平行四边形． (1)求向量a，b的坐标； (2)求向量的坐标； (3)求点B的坐标． 例2．已知向量a＝(2，m)，b＝(－1，2)，且a＋2b＝0，则m＝___________． 例3．已知A(1，－2)，B(2，1)，C(3，2)，D(－2，3)， (1)求＋2－3； (2)设＝3，＝－2，求及M、N点的坐标． 例4．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，3)，若向量ma＋2b(m∈R)与向量3a－2b共线，则m的值为(　　 ) A．－3　　　 B．3　　　 C．　　　 D．－ 例5．已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC与OB的交点P的坐标为________． 例6．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为(　　) A． B． C．2 D． 题型三、平面向量数量积的坐标表示 例1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A．10 B．－10 C．3 D．－3 例2．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于(　　) A． B． C．5