2022-2023学年高二物理竞赛课件：简谐振子

简谐振子 简谐振子 简谐振子是量子力学中最重要的问题之一，可用于解释量子力学的基本概念与方法，也在近代物理的许多分支包括分子光谱，固体物理，核结构，量子磁场，量子光学，量子统计等等领域有重要应用。历史上正是Planck提出辐射振子的分立能量单位而导致了量子概念的产生。对谐振子量子性质的深刻了解是近代物理学者所必需的。 一、能量本征态和能量本征值 谐振子的哈密顿量是 ω是经典振子的角频率，与弹性常数k的关系是 定义两非厄米算符 根据x与p的对易关系，得 定义 故有 ，H与N对易而有共同本征态。 设N的本征态 满足 ，则 即能量能征值为 二、产生、湮灭和粒子数算符 由 得 即 和 也是N的本征态,分别对应于本征值n+1和n-1 由于把n加1或减1对应于产生或减少一个能量量子 ，故称 和 分别为产生和湮灭算符。 由于 可写出 因 ，要避免出现 要求n为整数，此时 将在m>n时截断为零矢量而不出现 态。所以，N被称为粒子数算符。 最低能量状态即基矢能量为 ，激发态即正n态的能量为 . 三、激发态、粒子数表象 激发态 可由 及 的性质而写出： …… 此外有： 粒子数表象 由 可得 在n表象中，x和p均非对角（x、p与N不对易）。 四、本征波函数 用算符的方法可得出坐标空间的能量本征函数。 这里 表征振子长度。 可以解得 激发态可求出为 上式与厄米多项式 是等价的。 五、本征态的一些性质 由波函数的对称性得： 基态时： , 。 满足最小测不准关系(基态波函数具有高斯形式)。 由 得 有 六、振子的时间演化 x，p的Heisenberg运动方程可表示为 这对耦合方程等价于 和 的独立微分方程： 即 或 得解为 与经典x、p的运动形式相同。x、p算符像其经典对应量一样振荡 六、振子的时间演化（直接解法） 由算符的时间演化直接求出x(t)，p(t)： 利用Baker-Hausdorff 引理 可得 类似地，可得出与前面的结果相同的 。 注意：算符随时间变化不意味着其期待值随时间变。 对谐振子 要观测到类似于经典振子的振荡，需用能量本征态的叠加 对 ，可验证 随时间振荡。 七、相干态 对应于非厄米算符 的本征态(相干态)是形状不扩展的振荡波包，具有与经典振子振荡最相似的特性。 一般为复数 以ω为角频率振荡且形状不随时间变 相干态的重要性质包括 1． 是某平均n 2． 可由 经原点平移一定距离而得。 3． 满足最小测不准关系。 以 为角频率振荡，与经典振子有些相象。 七、相干态 对应于非厄米算符 的本征态(相干态)是形状不扩展的振荡波包，具有与经典振子振荡最相似的特性。 一般为复数 以ω为角频率振荡且形状不随时间变 相干态的重要性质包括 1． 是某平均n 2． 可由 经原点平移一定距离而得。 3． 满足最小测不准关系。 与 的关系 利用 这里C=[A,B],且[C,A]=[C,B]=0 有 故 由于[a,a+]=1，对由a及a+组成的函数，a与 等价，a+ 与 等价，有 故 是a的本征值为 α的本征态 考虑到并非厄米算符，本征值不一定为实数，可对在复平面作解析延拓，记为λ，即 $