2023年中考数学圆的最值模型

圆的最值模型 模型介绍 如图1所示,点P是⊙O外一定点,点A是⊙O上一动点,连结OA、PA. 有下列重要结论: （1）当点A为OP与⊙O的交点时,线段PA的长度取得最小值,如图2所示; （2）当点A为PO的延长线与⊙O的交点时,线段PA的长度取得最大值,如图3所示. 在图2中,;在图3中,. 像这样,求圆外一定点到圆上一动点之间线段长度的最大值或最小值的问题,我们称之为圆的最值模型. 模型证明 证明: 如图4所示,当O、A、P三点不共线时,根据三角形三边之间的关系定理可得: 当O、A、P三点共线时,如图5,则有;如图6,则有. 综上所述,在点A在⊙O上运动的过程中,≤PA≤. ∴（如图5）,（如图6）. 模型说明 （1）该模型涉及到三个点:两个定点和一个动点,且动点在以其中一个动点为圆心,定长为半径的圆上. （2）对于动点问题,如果存在一个动点绕着一个定点旋转,或一条定长的线段绕其一端点旋转,那么这时我们可考虑作出一个圆,构造出圆的最值模型. 模型举例 例1. 【教材呈现】如图是华师九年级上册数学教材第77页的部分内容 猜想 如图23.4.2,在△ABC中,点D、E分别 是AB与AC的中点,根据画出的图形,可以猜 想:,且. 对此,我们可以用演绎推理给出证明. 【定理证明】 （1）请根据材料内容,结合图①,写出证明过程. 【定理应用】 （2）如图②,四边形ABCD中,M、N、P分别为AD、BC、BD的中点,边BA、CD的延长线交于点E,,则的度数是_________. （3）如图③,矩形ABCD中,,点E在边AB上,且.将线段AE绕点A旋转一周,得到线段AF,M是线段CF的中点,直接写出旋转过程中线段BM长的最大值和最小值. （1）证明:∵点D、E分别是AB、AC的中点 ∴ ∵ ∴△ADE∽△ABC ∴ ∴. （2）解:; 提示 方法一:如图所示,延长MP交BC于点G. ∵M、N、P分别为AD、BC、BD的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴. 方法二: 如图所示,延长PM、NP,分别交CE、BE于点G、H ∵M、N、P分别为AD、BC、BD的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴. （3）解: BM长的最大值为4,最小值为1. 提示 方法一: 连结AC,取AC的中点O, 连结OM、OB 由题意可知,OM是△ACF的中位线 ∴ 在Rt△ABC中,由勾股定理得: ∴ 显然,在旋转的过程中,点M在以点O 为圆心,以的长为半径的⊙O上 当点M为BO的延长线与⊙O的 交点时,BM的长取得最大值 最大值为, 当点M为OB与⊙O的交点时,BM的 长取得最小值 最小值为. 方法二: 延长CB至点G,连结GF,构造以点A为圆心,以AF的长为半径的圆,如图所示,连结AG,由勾股定理求得 易知BM是△CFG的中位线,所以,故BM的最值取决于GF的最值. 当点F为GA的延长线与⊙A的交点时,GF的长取得最大值,最大值为: ,所以BM的长的最大值为4;当点F为AG与⊙A的交点时,GF的长取得最小值,最小值为,所以BM的长的最小值为1. 例2. 如图（5）所示,正方形ABCD的边长为2,点E、F为AD边上的两个动点,且AE=DF,连结BD、BE、CF,BD与CF交于点G,连结AG,交BE于点H,则线段DH的最小值是________. 解:∵四边形ABCD为正方形 ∴ 在△ABE和△DCF中 ∵ ∴△ABE≌△DCF（SAS） ∴ 同理可证:△ADG≌△CDG ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴点H在以AB为直径的⊙O上 如图所示,连结OD,当点H为OD与⊙O的交点时,DH取得最小值. 在Rt△AOD中,由勾股定理得: ∴. 即DH的最小值为. 例3. 如图（6）所示,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,点M是AD边的中点,点N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN,则A′C长度的最小值是________. 解: ∵点M是AD边的中点 ∴ 由折叠可知: ∴ ∴点A、D、在以点M为圆心,以AM的长为半径的圆上,如左图所示. 当点为CM与⊙M的交点时,的长取得最小值. 过点M作,交CD的延长线于点E. ∵四边形ABCD为菱形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在Rt△CEM中,由勾股定理得: ∴ 即的最小值为. 模型应用 1. 如图,正方形ABCD的边长为4 cm, 正方形AEFG的边长为1 cm.如果正方 形AEFG绕点A旋转,那么C、F两点 之间的最小距离为_________. 2. 如图所示,已知矩形纸片ABCD,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点,点,点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合）,将矩形沿OP折叠,使点B落在点的位置,则的最小值为_________. 3. 如图所示,在矩形ABCD中,,点E是AB边的中点,点F是BC边上的