不等式选讲-2018-2022年全国卷高考真题汇编

不等式选讲高考真题汇编 【2022•全国甲卷文理23,10】已知a,b,c均为正数,且,证明: (1); (2)若,则. 【2022•全国乙卷文理23,10】已知a,b,c都是正数,且,证明: (1);(2); 【2021•全国甲卷文理23,10】已知函数,. (1)画出和的图象;(2)若,求的取值范围. 【2021•全国乙卷文理23,10】已知函数。 (1)当时,求不等式的解集; (2)若,求的取值范围。 【2020•新课标Ⅰ文理23,10】已知函数. (1)画出的图象;(2)求不等式的解集. 【2020•新课标Ⅱ文理23,10】已知函数. (1)当时,求不等式的解集;(2)若f,求的取值范围. 【2020•新课标Ⅲ文理23,10】设∈R,,. (1)证明:; (2)用表示中的最大值,证明:. 【2019•全国卷Ⅲ理23,10】设,且. (1)求的最小值; (2)若成立,证明:或. 【2019•全国卷Ⅱ文理23,10】已知 (1)当时,求不等式的解集; (2)若时,,求的取值范围. 【2019•全国卷Ⅰ文理23,10】已知为正数,且满足.证明: (1); (2). 【2018•全国Ⅰ卷文理23,10】已知. (1)当时,求不等式的解集; (2)若时不等式成立,求的取值范围. 【2018全国Ⅱ卷文理23,10】设函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)若,求的取值范围. 【2018•全国Ⅲ卷文理23,10】设函数. (1)画出的图像; (2)当,,求的最小值. 不等式选讲高考真题答案解析 【2022•全国甲卷文理23,10】已知a,b,c均为正数,且,证明: (1); (2)若,则. 【分析】(1)根据,利用柯西不等式即可得证; (2)由(1)结合已知可得,即可得到,再根据权方和不等式即可得证. 证明:由柯西不等式有, 所以,当且仅当时,取等号,所以; 证明:因为,,,,由(1)得, 即,所以, 由权方和不等式知, 当且仅当,即,时取等号,所以. 【2022•全国乙卷文理23,10】已知a,b,c都是正数,且,证明: (1);(2); 证明:因为,,,则,,, 所以, 即,所以,当且仅当,即时取等号. 证明:因为,,, 所以,,, 所以,, 【2020•新课标Ⅰ文理23,10】已知函数. (1)画出的图象;(2)求不等式的解集. 【解答】解:函数f(x)=|3x+1|﹣2|x﹣1|=,图象如图所示 (2)由于f(x+1)的图象是函数f(x)的图象向左平移了一个1单位所得,(如图所示) 直线y=5x﹣1向左平移一个单位后表示为y=5(x+1)﹣1=5x+4, 联立,解得横坐标为x=,∴不等式f(x)>f(x+1)的解集为{x|x}. 【2020•新课标Ⅱ文理23,10】已知函数. (1)当时,求不等式的解集;(2)若f,求的取值范围. (1)把a=2代入函数解析式,写出分段函数,然后对x分类求解不等式,取并集得答案; (2)利用绝对值不等式的性质可得f(x)=|x﹣a2|+|x﹣2a+1|≥|x﹣a2﹣(x﹣2a+1)|=|(a﹣1)2|=(a﹣1)2.由f(x)≥4,得(a﹣1)2≥4,求解二次不等式得答案. 【解答】(1)当a=2时,f(x)=|x﹣4|+|x﹣3|=, ∴当x≤3时,不等式f(x)≥4化为﹣2x+7≥4,即x≤,∴x; 当3<x<4时,不等式f(x)≥4化为1≥4,此时x∈∅; 当x≥4时,不等式f(x)≥4化为2x﹣7≥4,即x,∴x. 综上,当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集为{x|x≤或x≥}; (2)f(x)=|x﹣a2|+|x﹣2a+1|≥|x﹣a2﹣(x﹣2a+1)|=|(a﹣1)2|=(a﹣1)2. 又f(x)≥4,∴(a﹣1)2≥4,得a﹣1≤﹣2或a﹣1≥2,解得:a≤﹣1或a≥3. 综上,若f(x)≥4,则a的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞). 【2020•新课标Ⅲ文理23,10】设∈R,,. (1)证明:; (2)用表示中的最大值,证明:. (1)将a+b+c=0平方之后,化简得到2ab+2ac+2bc=﹣(a2+b2+c2)<0,即可得证; (2)利用反证法,假设a≤b<0<c<,结合条件推出矛盾. 证明:(1)∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0, ∴2ab+2ac+2bc=﹣(a2+b2+c2), ∵abc=1,∴a,b,c均不为0,∴2ab+2ac+2bc=﹣(a2+b2+c2)<0,∴ab+ac+bc<0; (2)不妨设a≤b<0<c<,则ab=>,∵a+b+c=0,∴﹣a﹣b=c<, 而﹣a﹣b≥2>===,与假设矛盾,故max{a,b,c}≥. 【2019•全国卷Ⅰ文理23,10】已知为正数,且满足.证明