4.1指数课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

第4章 4.1 指 数 学习目标 1.理解n次方根和根式的含义. 2.理解分数指数幂的含义，了解无理数指数幂的含义. 3.通过对有理数指数幂和实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程. 4.掌握指数幂的运算性质. 核心素养：数学抽象、数学运算 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 新知学习 一、根式 1.n次方根 （1）定义：一般地，如果xn＝a（n>1，n∈N*），那么称x为a的n次方根. （2）性质： ①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次方根用符号表示. ②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次方根用符号表示（叫做a的n次算术根），负的n次方根用符号-表示.正的n次方根和负的n次方根可以合并写成±（a>0）. （3）0的n次方根等于0，记作＝0. 【提示】“n次方根”的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广，可以通过类比进行理解. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 【概念理解】 1.数a的n次方根x满足xn＝a，因此求a的n次方根就是求一个数的n次方等于a. 2.n次方根实际上就是平方根与立方根的推广. 3.n次方根的概念表明，乘方与开方是互逆运算. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 2.根式 （1）定义：式子叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数. （2）性质：①（）n＝a. ②＝ 【说明】在根式中，注意以下几点： （1）n>1，n∈N*；（2）当n为奇数时，对任意a∈R都有意义； （3）当n为偶数时，只有当a≥0时才有意义. 【知识拓展】开方与乘方：求a的n次方根的运算称为开方运算. 开方运算与乘方运算是互逆运算，不要将其与乘方运算相混淆. 如求2的4次方，结果是24＝16，而求2的4次方根，结果为±. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例　　下列计算中正确的序号是    . ①＝3；②16的4次方根是±2；③＝±3；④＝|x+y|. 【解析】负数的3次方根是一个负数，＝-3，故①错误； 16的4次方根有两个，为±2，故②正确； ＝3，故③错误； 是非负数，所以＝|x+y|，故④正确. ②④ 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 二、整数指数幂 （1）正整数指数幂的定义an＝（n∈N*）. （2）正整数指数幂的运算法则： ①am·an＝am+n；②（am）n＝amn；③am÷an＝am-n（m>n，a≠0）；④（ab）m＝ambm；⑤＝（b≠0）. （3）在上述运算法则③中，限定m>n，若取消这种限制，则正整数指数幂就推广到了整数指数幂.但要规定a0＝1（a≠0），a-m＝（a≠0，m∈N*）.这样一来，上面的五条运算法则就可以归纳. 【巧记】 正数开方要分清，根指奇偶大不同，根指为奇根一个，根指为偶双胞生. 负数只有奇次根，算术方根零或正，正数若求偶次根，符号相反值相同. 负数开方要慎重，根指为奇才可行，根指为偶无意义，零取方根仍为零. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 三、分数、有理数指数幂　 1.分数指数幂的意义 （1）规定：正数的正分数指数幂的意义是＝（a>0，m，n∈N*，n>1）. 于是，在条件a>0，m，n∈N*，n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式. （2）＝＝（a>0，m，n∈N*，n>1）. （3）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 【概念辨析】 1.分数指数幂的运算性质和整数指数幂的运算性质在形式上完全相同，只是幂指数的范围不同. 分数指数幂是根式的另一种写法，其中根指数n为幂指数中的分母，被开方数的指数m为幂指数中的分子. 根式与分数指数幂表示的意义相同，只是形式不同. 2.分数指数幂不能理解为个a相乘，这与整数指数幂不同. 分数指数不能随意约分，约分后可能因改变底数a的取值范围而造成错误. 例如，约分后为＝，而在实数范围内是无意义的. 3.在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如＝有意义，但＝就没有意义. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 【知识拓展】整数指数幂与分数指数幂的对比 整数指数幂 指数幂中的指数从整数拓展到了有理数 分数指数幂 正整数指数幂： an＝（n∈N*） 正数的正分数指数幂： ＝（a>0，m，n∈N*，n>1） 负整数指数幂： a-n＝（n∈N*） 正数的负分数指数幂： ＝＝（a>0，m，n∈N*，n>1） 规定：0的0次方没有意义； 非零整数的0次方都等于1 规定：0的正分数指数幂等于0； 0的负分数指数幂没有意义 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 2.有理