3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册

第3章 3.3 从函数观点看一元二次方程 和一元二次不等式 学习目标 1.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 新知学习 一、二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根就是二次函数y＝ax2+ bx+c（a≠0）当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的零点. 【概念理解】 （1）函数的零点是一个实数，而不是一个点.例如，函数f（x）＝x+1的零点是-1，而不是（-1，0）. （2）并不是所有的函数都有零点，如f（x）＝1，f（x）＝x2+1就没有零点. （3）将概念推广到一般情况：如果函数y＝f（x）在实数a处的函数值等于零，即f（a）＝0，则称a为函数 f（x）的零点. 示例　函数y＝x2-3x+2的零点是1和2，求方程x2-3x+2＝0的根即可. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 二、二次函数零点与一元二次方程的根之间的关系 当a>0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0的根、二次函数y＝ax2+bx+c的图象、二次函数y＝ax2+bx+c的零点之间的关系如下表： 判别式Δ＝b2-4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 一元二次方程 ax2+bx+c＝0的根 有两个相异的实数根 x1，2＝ 有两个相等的实数根 x1＝x2＝- 没有实数根 二次函数 y＝ax2+bx+c的图象   二次函数 y＝ax2+bx+c的零点 有两个零点， 为x1，2＝ 有一个零点， 为x＝- 无零点 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 示例　 二次函数y＝x2+（a-1）x+1（a>0）只有一个零点，则方程ax2-8x-a＝0的根为　　　　. -或3 【说明】 1.一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，判别式Δ＝b2-4ac，当Δ≥0时，方程有实根x1，2＝. 2.x1，x2在这里有三重身份，一元二次方程的实根；相应二次函数的零点；相应二次函数图象与x轴交点的横坐标. 【分析】由题意可得Δ＝（a-1）2-4＝0，求出a，然后求解一元二次方程. 【解析】二次函数y＝x2+（a-1）x+1（a>0）只有一个零点， 则Δ＝（a-1）2-4＝0，解得a＝3或a＝-1（舍去），所以方程为3x2-8x-3＝0，解得x＝-或x＝3. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 三、一元二次不等式与二次函数的关系 一元二次不等式及相应的二次函数y＝ax2+bx+c（a>0）的图象、一元二次方程的根之间的关系如下表： 判别式Δ＝b2-4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2+bx+ c（a>0）的图象 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a>0）的根 有两个相异的实数根x1，x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 x1＝x2＝- 没有实数根 ax2+bx+c<0（a>0）的解集 （x1，x2）   ax2+bx+c>0（a>0）的解集 （-∞，x1）∪（x2，+∞） ∪ R 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材 【说明】 （1）函数的角度：一元二次不等式ax2+bx+c>0表示二次函数y＝ax2+bx+c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2+ bx+c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围. （2）方程的角度：一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. 【提示】利用二次函数图象的直观形象，可以快速地得到它所必须满足的条件，具体做法是先作出符合根的分布的二次函数图象，由图象可得到f（x）在区间端点的函数值和判别式的符号，以及对称轴的位置等情况，从而找到所需满足的条件.但应注意的是，由图象所得出的条件必须能推出符合题意的根的分布. 高中数学 必修第一册 配套江苏版教材  示例　若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1}，则函数y＝ax2-x-c的图象为（　） 【分析】根据不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1}，可得a<0，且-2和1是一元二次方程ax2-x-c＝0的两个实根，结合图象可知答案. 【解析】因为不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1}， 所以a<0，且-2和1是一元二次方程ax2-x