2.5从力的做功到向量的数量积课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§5 从力的做功到向量的数量积 第二章 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律. 3.会求向量的数量积、长度、夹角，会用两个向量的数量积解决向量的垂直问题. 核心素养：数学运算、数学抽象、直观想象. 学习目标 高中数学 必修第二册 北师大版 一、向量的数量积 如图，已知两个非零向量和，作＝，＝，向量与的夹角∠记为〈〉或（0°≤≤180°）.称为与的数量积（或内积），记作，即＝||cos〈〉＝|cos . 规定零向量与任一向量的数量积为0. 当0°≤〈〉<90°时，>0；当〈〉＝90°时，＝0；当90°<〈〉≤180°时，<0；当〈〉＝0°时，＝|；当〈〉＝180°时，＝. 新知学习 高中数学 必修第二册 北师大版 （1）两个向量的数量积，其结果是一个实数，不是向量，符号由cos 的符号决定. （2）两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的乘法是有区别的，不能写成，“· ”不能省略. （3）＝0. （4）注意两向量夹角的范围是0°≤≤180°.   名师点析 高中数学 必修第二册 北师大版 二、投影 如图，已知两个非零向量和，作＝，＝，过点向直线作垂线，垂足为，得到在上的投影＝，称为投影向量. ||cos〈〉称为投影向量的数量，也称为向量在向量方向上的投影数量，可以表示为·. 所以投影数量是数量积的特殊情况. 高中数学 必修第二册 北师大版 5 1.数量积的运算律 对任意的向量和实数： （1）交换律：； （2）与数乘的结合律：； （3）关于加法的分配律：. 三　数量积的运算性质 2.数量积的性质 （1）若是单位向量，则|cos〈〉； （2）若是非零向量，则； （3），即||＝； （4）cos〈〉＝（|）； （5），当且仅当时等号成立. 高中数学 必修第二册 北师大版 （1）＝90°＝cos ＝0. （2）当与同向时，＝0°，cos ＝1，＝； 当与反向时，＝180°，cos ＝-1，＝. （3）＝cos 0°＝||2，即||＝. （4）＝cos cos ＝. （5）||＝|cos |≤.   名师点析 高中数学 必修第二册 北师大版 三　向量数量积的坐标表示   已知两个向量＝（），＝（），. （1）设＝（），则||2＝，或||＝. 如果表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为，那么 ＝（），||＝||＝. 这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式. （2）设＝（），＝（），与的夹角为，则 ＝cos ＝， cos ＝＝（）. 特别地，＝0. 高中数学 必修第二册 北师大版 名师点析 （1）求模公式是数量积的坐标表示的一种特例.当时，可得. （2）若点，点，则＝（），所以||＝，即||的实质是两点间的距离或线段的长度，这也是模的几何意义. （3）当是非坐标形式时，求与的夹角，需求出，||和||或直接得出它们之间的关系. （4）若是坐标形式，则可直接利用公式求与的夹角.   高中数学 必修第二册 北师大版 一、向量数量积的运算及几何意义 <1> 数量积的计算 例1　如图，在梯形中，，＝4，BC＝CD＝DA＝2.若E为BC的中点，则·＝（　　） A. B.3 C. D.12 典例剖析 解析：由题意可知，为直角三角形，∠＝90°，由勾股定理，得＝.根据数量积的几何意义得，·即的长度||与在方向上的投影数量||cos〈，〉的乘积，又||cos〈，〉＝||，故可得·＝2＝12，故选D. 答案：D 高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练　 Ｂ 如图，在圆中，是圆心，点在圆上，·的值（　　） A.只与圆的半径有关 B.只与弦的长度有关 C.既与圆的半径有关，又与弦的长度有关 D.是与圆的半径和弦的长度均无关的定值   高中数学 必修第二册 北师大版 <2> 向量投影的相关问题 例2　已知向量与的夹角为120°，且||＝||＝2，则在方向上的投影为 （　　） A.1 B. C. D. 解析：由向量的数量积公式可得cos〈〉， 所以在上的投影为||cos〈〉＝＝. 又＝||·||cos〈〉＝2×2×cos 120°＝-2，||＝||＝2， 所以原式＝＝，故选B. 答案：B 高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练 Ｃ 已知的外接圆的圆心为，若+＝，且||＝||＝2，则向量在向量方向上的投影数量为（　　） A. B. C.3 D.1   高中数学 必修第二册 北师大版 二　向量的夹角问题 例3　若两个非零向量满足||＝||＝||，则向量与的夹角是（　　） A. B. C. D. 解题提示：根据||＝||＝||，结合图形易知〈〉＝，或由数量积定义，也可得出＝2，从而得出||＝||，＝2，进而可得