2.4平面向量基本定理及坐标表示课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§4 平面向量基本定理及坐标表示 第二章 1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 核心素养：数学运算、数学抽象、逻辑推理. 学习目标 高中数学 必修第二册 北师大版 一、平面向量基本定理 如果和是同一平面内两个不共线的向量，那么对该平面内任意一个向量，存在唯一的一对实数，使. 我们把不共线的向量和叫作表示这一平面向量的一组基，记为{}. 若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基.在正交基下向量的线性表示称为正交分解. 若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基. 新知学习 高中数学 必修第二册 北师大版 （1）若两个向量不共线，则向量与共面等价于存在唯一的一对实数，使. （2）若向量与或共线，则可表示为或.（前者与共线，后者与共线） （3）当基{}给定时，分解形式是唯一的，是被唯一确定的，即若＝ 特别地，若.   名师点析 高中数学 必修第二册 北师大版 二、平面向量及运算的坐标表示 1.平面向量的坐标表示 .我们把（）称为向量在标准正交基{}下的坐标，向量可以表示为. 在平面直角坐标系中，点的位置被它的位置向量所唯一确定，设点的坐标为（），容易看出 ＝，即点的位置向量的坐标（）也就是点的坐标；反之，点在平面直角坐标系中的坐标也是点所决定 的位置向量的坐标. 高中数学 必修第二册 北师大版 5 名师点析 （1）向量中间用等号连接，而点的坐标中间没有等号. （2）平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同. （3）在平面直角坐标系中，平面内的点，以原点为起点的向量，有序实数对三者之间可建立一一对应关系.   高中数学 必修第二册 北师大版 2.平面向量运算的坐标表示 设则，根据向量的运算律，可得 ， 即　　　　　　. 同理　　　　　. 设，则， 即　　　　　　. 如图，设点 则＝-＝（）（）＝（）. 即　　　　　＝（）. 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差； 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积； 一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标. 高中数学 必修第二册 北师大版 3.平面向量平行的坐标表示 在平面直角坐标系中，. 向量共线的充要条件是. 名师点析 若且（即向量不与坐标轴平行），则上式可变形为＝，我们可以得出： 1.若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例. 2.若两个向量对应的坐标成比例，则它们平行.   高中数学 必修第二册 北师大版 一、平面向量基本定理的理解及应用 <1> 用基表示向量 例1　如图所示，设点是线段的三等分点.若＝，＝，则＝　　　　，＝　　　　.（用表示） 典例剖析 解析：如图，＝-＝+＝（-）+＝+＝+， ＝-＝+＝（-）+＝+＝+. 答案： + + 高中数学 必修第二册 北师大版 反思感悟 反思感悟 用不共线向量作为基表示其他向量的方法 （1）利用平面几何知识结合向量的线性运算法则对待求向量进行转化，直至能够用基表示为止. （2）列向量方程（组），利用基表示向量的唯一性求解.   高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练　 Ｂ 如图，在正六边形中，＝（　　） A. - B. - C. - D. -   高中数学 必修第二册 北师大版 <2> 求参数 例2　在梯形中，已知∥，，分别为的中点.若＝+，则＝　　　　. 解析：（方法1）∵＝+，分别为的中点， ∴＝（+）+（+），则++＝0. 如图，连接，∵ ∥，，∴＝+＝+， ∴ ++＝0，则+＝0. 又，不共线，∴解得∴ ＝. 高中数学 必修第二册 北师大版 <2> 求参数 例2　在梯形中，已知∥，，分别为的中点.若＝+，则＝　　　　. （方法2）由图，得＝++. ∵ 是的中点，＝，∴＝. 又∵ 是的中点，∴＝，∴＝++＝++2（-） ＝++-2（+） ＝-+-＝-+.∴＝-+， ∴＝-+，∴ ＝，＝，＝. 答案： 高中数学 必修第二册 北师大版 反思感悟 反思感悟 求向量线性表示系数的常用方法 （1）根据平面图形列出等式，利用平面向量基本定理表达式中系数的唯一性求解. （2）利用平面几何知识计算线段比例关系. （3）若不共线，则的条件是，这一结论结合待定系数法应用非常广泛.   高中数学 必修第二册 北师大版 如图，在平行四边形中，是的中点，是上的一点，且，若＝+，其中，则的值为（　　） A.1  B.   C.   D. 跟踪训练 Ｃ 高中数学 必修第二册 北师大版 <3> 在平面几