2.2从位移的合成到向量的加减法课件-2022-2023学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§2 从位移的合成到向量的加减法 第二章 1.理解向量加、减法的概念及向量加减法的几何意义. 2.理解向量加、减法的平行四边形法则和三角形法则,会作出两个向量的和、差向量. 3.理解向量的加法交换律和结合律,并能运用它们进行向量计算. 核心素养:直观想象、数学抽象. 学习目标 高中数学 必修第二册 北师大版 一、向量的加法 1.向量加法的定义 求两个向量和的运算,称为向量的加法. 平行四边形法则:已知两个不共线的向量,如图,在平面内任取一点,作有向线段=,=,以有向线段和为邻边作,则有向线段表示的向量即为向量与的和,记作. 新知学习 高中数学 必修第二册 北师大版 三角形法则:如图,作有向线段=,以有向线段的终点为起点,作有向线段=,连接得到有向线段,也可以表示向量与的和. 名师点析 1.平行四边形法则的应用前提:两个向量是从同一起点(或能平移至同一起点)出发的不共线向量. 2.当两个向量不共线时,三角形法则和平行四边形法则的实质是一样的,三角形法则是两个向量首尾相连,平行四边形法则是两向量起点相同.当两个向量共线时,平行四边形法则便不再适用. 3.向量求和的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义. 4.对于零向量与任一向量的和,都有. 高中数学 必修第二册 北师大版 思考 对任意的两个向量,||,,之间具有怎样的大小关系? 提示:它们之间的关系为|. (1) (2) (3) (1)如图(1),当不共线时,由三角形任意两边之和大于第三边, 得;由三角形任意两边之差小于第三边,得|. (2)如图(2),当与同向时,此时; 如图(3),当与反向时,不妨设,此时. 故对于任意向量,总有.① 由于,所以, 即.② 将①②两式结合起来可得,我们称其为向量形式的三角不等式. 高中数学 必修第二册 北师大版 2.向量加法的运算律 向量的加法也满足结合律和交换律,即. 由于向量的加法满足结合律与交换律,因此求个向量的和可以按以下步骤进行:任取一点,依次作有向线段=,=,…,=,即为这个向量之和. 名师点析 已知个向量,依次把这个向量首尾相连,以第一个向量的起点为起点,第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则,是三角形法则的推广,强调的也是“首尾相连”. 高中数学 必修第二册 北师大版 二、向量的减法 向量减向量等于向量加上向量的相反向量,即. 如图,给定向量与,作有向线段=,=,故=,则=+=+=, 即如果把向量与的起点放在点,那么从向量的终点指向被减向量的终点,得到的向量就是. 高中数学 必修第二册 北师大版 一、向量的加、减法运算 例1 化简(+)+(+)+后等于( ) A. B.0 C.0 D. 典例剖析 解题提示:利用向量加法的交换律、结合律,把首尾相连的向量先进行加法运算. 解析:(+)+(+)+=++++ =+++=++=+=.故选D. 答案:D 高中数学 必修第二册 北师大版 例2 化简:(-)-(-). 解:(方法1)(-)-(-)=(+)-(+)=-=0. (方法2)(-)-(-)=(-)-(-)=-=0. (方法3)在平面内任取一点O,则(-)-(-) =(-)-(-)-[(-)-(-)] =-+-++-=0. 高中数学 必修第二册 北师大版 反思感悟 反思感悟 化简向量表达式的常用方法 仔细观察向量的表达式,利用向量加、减法的运算规律及相反向量的性质等,转化为便于运算的形式,从而达到快速准确化简的目的.常用技巧有以下几种: ①加法运算:利用交换律,转化为“首尾相连”的形式,如: +++=; ②减法运算:共起点,连终点,指被减,如: -=的形式(“终点减起点”); ③利用相反向量化减为加,如: -=+=; ④凑零:相反向量和为0,如: +=0. 高中数学 必修第二册 北师大版 2.下列各式中不能化简为的是( ) A. +(+) B.(+)+(-) C. -+ D. +- 跟踪训练 D 1.如图,在矩形ABCD中, ++=( ) A. B. C. D. B 高中数学 必修第二册 北师大版 二 用已知向量表示未知向量 例3 如图,在五边形中,若四边形是平行四边形,且=,=,=,试用表示向量,,. 解题提示:寻找图形中已知向量与待表示向量的关系,再灵活运用三角形法则或平行四边形法则表示即可. 解:∵ 四边形为平行四边形,∴==. ∵=-=, ∴=+=,=-=,=-=. 高中数学 必修第二册 北师大版 反思感悟 反思感悟 用几个基本向量表示其他向量的一般步骤 (1)观察待表示向量的位置; (2)寻找相应的平行四边形或三角形; (3)运用法则找关系,化简得结果. 高中数学 必修第二册 北师大版 跟踪训练 如图所示,已知=,=,=,=,=,=,试用表示,, -, +, -, ++.