立体几何专题集锦-2023届高三数学一轮复习

专题突破：立体几何 1．（2023•滨州一模）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝11，BC＝5，CC1＝3，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝3，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． （I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 2．（2023•佛山一模）如图，△ACD和△BCD都是边长为2的等边三角形，平面ACD⊥平面BCD，EB⊥平面BCD． （1）证明：EB∥平面ACD； （2）若点E到平面ABC的距离为，求平面ECD与平面BCD夹角的正切值． 3．（2023•长安区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E为PD的中点，F在PC上，满足EF⊥PC． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）求二面角B﹣AF﹣C的余弦值． 4．（2023•红河州一模）如图，在多面体ABCDEF中，A，B，C，D四点共面，AB＝AC＝AF＝CE＝2，AF∥CE，AF⊥平面ABCD，DE2+DF2＝12． （1）求证：CD⊥平面ADF； （2）若AD＝CD，AB⊥AC，求平面BEF和平面DEF的夹角的余弦值． 5．（2023•保定一模）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点．将△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，连接AE，AC，DE，得到三棱锥A﹣BCD． （1）求证：平面ABD⊥平面BCD； （2）若AD＝1，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，求二面角B﹣AD﹣E的正弦值． 6．（2023•茂名一模）如图所示，三棱锥P﹣ABC，BC为圆O的直径，A是弧上异于B、C的点．点D在直线AC上，OD∥平面PAB，E为PC的中点． （1）求证：DE∥平面PAB； （2）若PA＝PB＝PD＝AB＝AD＝4，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值． 7．（2023•江宁区校级一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，ABB1A1是边长为2的菱形，BC＝1，AC＝， （1）证明：平面A1BC⊥平面ABB1A1； （2）若AC＝A1C，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积． 8．（2023•晋城一模）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB，D，E分别是棱BC，BB1的中点． （1）证明：平面AC1D⊥平面A1CE． （2）求平面ACE与平面A1CE所成锐二面角的余弦值． 9．（2023•深圳一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥AB，且PD＝PB，底面ABCD是边长为2的菱形，． （1）证明：平面PAC⊥平面ABCD； （2）若PA⊥PC，求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值． 10．（2023•忻州一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，D，E分别为棱AB，B1C1的中点，BC＝2，，A1C1＝4． （1）证明：DE∥平面ACC1A1； （2）若三棱锥A﹣A1DC的体积为，求二面角D﹣A1C﹣A的余弦值． 11．（2023•宜川县校级一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的菱形，AB＝BC＝，点D为棱AC上一动点（不与A，C重合），平面B1BD与棱A1C1交于点E． （1）求证：BB1∥DE； （2）若＝，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知条件，求直线AB与平面B1BDE所成角的正弦值．条件①平面ABC⊥平面AA1C1C；条件②∠A1AC＝60°；条件③A1B＝． 注：若选择多种组合解答，则按第一个解答计分． 12．（2023•合肥模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点M为棱AA1的中点，P，Q分别为棱BB1，CC1上的点，且B1P＝CQ＝1，PQ交BC1于点N． （1）求证：MN∥平面ABCD； （2）求多面体BDMPQ的体积． 13．（2023•武汉模拟）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的下底面和上底面分别是边长为4和2的正方形，侧棱CC1上点E满足． （1）证明：直线A1B∥平面AD1E； （2）若CC1⊥平面ABCD，且CC1＝3，求直线BB1与平面AD1E所成角的正弦值． 14．（2023•浙江模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝4，AA1＝2，点D是棱BC的中点． （1）求证：A1B∥平面AC1D； （2）在棱上AC是否存在点M，其中，使得平面BA1D与平面A1DM所成角的大小为60°，若存在，求出λ；若不存在，说明理由． 15．（2023•安徽模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为A1B上一点，AD⊥平面A1BC． （1）求证：BC