4.2.2 等差数列的前n项和公式（第2课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

Sn=pn2+qn+r p= 1 S1= 3 a1= 3 q= 2 S2= 8 a2= 5 S3= 15 a3= 7 S4= 24 a4= 9 S5= 35 as= 11 第四章 数列 等差数列的 前n项和公式 授课人：XXX 第2课时 学习目标 掌握等差数列前项和的性质并能正确应用. 会利用等差数列的通项公式与前项和公式研究的最值. 理解等差数列的前项和公式与二次函数的关系. 核心素养 数学建模 应用等差数列前项和的性质解决一些实际问题. 数学运算 会利用等差数列前项和的性质简化求和运算； 会利用等差数列前项和的函数特征求最值. 知识回顾 等差数列的前项和公式： 01 等差数列前n项和的性质 例题解析 例7 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 分析： 把已知条件代入等差数列前项和的公式后，可得到两个关于与的二元一次方程，解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得和. 例题解析 解： 由题意，知 ， 把它们代入公式 ，得 解方程组，得 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定. 问题探究 已知数列的前项和为，其中为常数，且. 任取若干组，在电子表格中计算，的值，观察数列的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论. 退出 操作演示 问题探究 结论： 当时，数列为等差数列. 当时，数列从第二项起为等差数列. 问题探究 证明： 当时， 当时， ①当时，符合 所以，此时数列为等差数列，且公差为. ②当时，不符合， 所以 ， 此时数列从第二项起为等差数列，且公差为. 等差数列前n项和的性质 在等差数列中，公差为，前项的和为，则、、为等差数列，且公差为. 证明： 01 01 等差数列前n项和的性质 证明： 个 个 所以、、为等差数列，公差为. 在等差数列中，公差为，前项的和为，则、、为等差数列，且公差为. 01 01 等差数列前n项和的性质 由公式，可得， 证明： 若是等差数列，公差为，其前项的和为，则数列也是等差数列，公差为. 02 02 所以数列是等差数列，公差为. 等差数列前n项和的性质 . 证明： 在等差数列中，公差为，若项数为奇数，则，， . 03 03 ， ， 则 . 等差数列前n项和的性质 奇数项共项，偶数项共项，所以 证明： 在等差数列中，公差为，若项数为奇数，则，， . 03 03 ， ， 所以 . 等差数列前n项和的性质 . 证明： 在等差数列中，公差为，若项数为偶数，则，， . 04 04 ， ， 则 . 等差数列前n项和的性质 证明： 04 04 奇数项共项，偶数项共项，所以 ， ， 所以 . 在等差数列中，公差为，若项数为偶数，则，， . 等差数列前n项和的性质 证明： 已知等差数列 和 前项和分别为、，则 . 05 05 ， 所以 . 同理，， 02 等差数列前n项和的实际应用 例题解析 例8 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位. 分析： 将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列. 设数列的前项和为. 由题意可知，是等差数列，公差，，所以可利用等差数列的前项和公式求. 例题解析 解： 设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为. 根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且. 由 ，可得 . 因此，第1排应安排21个座位. 例题解析 例9 某单位用分期付款的方式为职工购买40套公寓，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1％. 若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，则全部按期付清后，买这40套公寓实际花了多少钱？ 分析： 根据题意，属于等差数列模型，首先确定数列的首项，然后再确定公差，最后利用等差数列前项和公式求解. 例题解析 解： 由于购房时先付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付款，则每次付款金额构成数列，所以 所以是以60为首项，为公差的等差数列. 所以 所以 则实际共付 （万元）. 故全部按期付清后，买这40套公寓实际花了1255万元. 03 等差数列前n项和公式与一元二次函数的联系 问题探究 例10 已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由. 分析： 由，公差，可以证明是递减数列. 存在正整数，当时，，递减. 把求的最大值转化为求的所有正数项的和. 问题探究 解： 由，得，所以是递减数列. 又由，可知 当时，， 当时，， 当时，， 所以，.