第28章 锐角三角函数 全章复习课件2022-2023学年人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 全章复习 本章知识结构梳理 锐角三角函数 1.锐角三角函数的定义 正弦; 余弦; 正切。 2.30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3.解直角三角形 定义 解直角三角形在实际问题中的应用。 解直角三角形的依据与一般方法 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中,∠C=90°,则 sin A= cos A= tan A= ∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数. 对于锐角A的每一个确定的值,sinA都有唯一的值与它对应,所以sinA是∠A的函数, 同样地,cosA、tanA也是∠A的函数 A B C ∠A的对边 斜边 ∠A的邻边 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中,∠C=90°,则 sin A= cos A= tan A= sin B= cos B tan B= 归纳:当∠A+∠B=90°时 sin A= cos B= sin B= cos A tan A· tan B=1 互为倒数 A B C a c b x y O P 典型例题 例1 如图,在平面直角坐标系中,直线OP过点(2,3),则tanα= . (2,3) 点拨: 求不是特殊角的三角函数值时,需借助定义,若图中无直角三角形,则需构造直角三角形,利用边的比来表示. 典型例题 例2. 已知Rt△ABC中,∠ACB = 90°, CD⊥AB于D,若AB = 5,BC = 4,求 sinα的值. B A C D α ∴sinα= sin B 4 5 3 解:在Rt△ABC中, AC= ∵ ∠ACB = 90° ∴∠A+∠B=90° 又∵CD⊥AB ∴∠A+ α =90° ∴α=∠B 点拨:求一个角的三角函数值,可转化为求和它相等角的三角函数值 可用几种方法求解? 典型例题 归纳技巧: 例3 如图,边长为1的小正方形网格中,⊙O的圆心在格点上,则∠AED的余弦值是_. 求一个角的三角函数值 ①直接法:用定义,有时需作辅助线构造直角三角形。 ②间接法:转化为求和它相等角的三角函数值。 30° 45° 60° sinα cos α tan α 填出下表: 二、特殊角的三角函数值 2 1 30° 60° 1 1 45° 熟记 sinα随着锐角α的增大而增大 tanα随着锐角α的增大而增大 cosα随着锐角α的增大而减小 锐角α 三角函数 典型例题 解:原式=2× + 1×( ) =1+ 例1.计算 2sin30 °+ tan45 º×cos 30° 步骤: 一“代”二“算” 例2. 若 ,则锐角α= . 30° 点拨:本题是由特殊角的三角函数值求角度,首先 将原式变形为tanα= ,从而求得α的度数. 2 2 = 在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直角三角形 三、解直角三角形 1.什么叫解直角三角形? 2.解直角三角形的依据: ∠A十∠B=90° (1)三边关系: (勾股定理) (2)两锐角的关系: (3)边角的关系: 归纳:只要知道其中的2个元素(至少有一个是边),就可以求出其余3个未知元素. 三、解直角三角形 在Rt△ABC中,∠C=90º, (1)若∠B=38º, AB=20, 求AC. B C A 38° (2)若∠B=38º, AC=10, 求BC和AB. 已知 sin38º≈0.62 cos38º≈0.79 tan38º≈0.78 tan52º≈1.28 有斜用弦 无斜用切 宁乘勿除 取原避中 点拨:当已知和求解中有斜边时,就用正弦或余弦;无斜边时,就用正切;当所求的元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,方便运算;当既可用已知数据又可用中间数据求解时,则用原始数据,尽量避免用中间数据. 四、解直角三角形的应用 因此要掌握直角三角形的一般解法,有时要与方程、全等三角形、相似三角形等知识结合在一起,要注意各种方法的灵活运用。 解直角三角形的知识在解决实际问题中有广泛的应用,如在测量高度、宽度、角度,确定方案时都常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题,常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 知识回顾4 1.仰角和俯角 在进行测量时, 从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角. 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 四、解直角三角形的应用 概念 四、解直角三角形的应用 概念 2.方位角 指南或指北的方向线与目标方向线构成的角(一般取锐角),叫做方位角. 如图:点A在点O的北偏西30º方向 点B在点O的南偏东45º方向 30° 45° 东 西 北 南 O A B (东南方向) 四、解直角三角形的应用 概念 3.坡角、坡度 坡度(坡比):坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度,用字母i表示,则 坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角 h l 坡度i与坡角α的关系 典型