6.4.3余弦定理、正弦定理（1）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4 平面向量的应用 第六章 6.4.3 余弦定理（1） 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题. 核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算 高中数学 必修第二册 RJ·A 新知学习 知识点一　余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于____________________ _________________________________ 公式表达 a2＝ ， b2＝ ， c2＝________________ 其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 高中数学 必修第二册 RJ·A 余弦定理 推论 cos A＝ ， cos B＝ ， cos C＝__________ 思考　在a2＝b2＋c2－2bccos A中，若A＝90°，公式会变成什么？ 答案　a2＝b2＋c2，即勾股定理. 高中数学 必修第二册 RJ·A 知识点二　解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的 .已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 . 元素 解三角形 高中数学 必修第二册 RJ·A 易错辨析 1.余弦定理适用于任何三角形.(　　) 2.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.(　　) 3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.(　　) 4.在△ABC中，若a2＋b2－c2>0，则角C为钝角.(　　) √ × √ × 高中数学 必修第二册 RJ·A 典例剖析 一、已知两边及一角解三角形 例1　 (1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2 ，A＝30°，求a的值； 解　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A 高中数学 必修第二册 RJ·A (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形. 解　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6. 当a＝3时，A＝30°，C＝120°； A＝90°，C＝60°. 高中数学 必修第二册 RJ·A 已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 反思感悟 高中数学 必修第二册 RJ·A 跟踪训练 已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝ ，则c＝ ，sin A＝ . 2 解析　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2× ＝4，解得c＝2. 高中数学 必修第二册 RJ·A 二　已知三边解三角形 高中数学 必修第二册 RJ·A 高中数学 必修第二册 RJ·A 反思感悟 已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角. 高中数学 必修第二册 RJ·A 跟踪训练 在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小. 解　∵a>c>b，∴A为最大角. 由余弦定理的推论， 又∵0°<A<180°，∴A＝120°， ∴最大角A为120°. 高中数学 必修第二册 RJ·A 三、余弦定理的简单应用 例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ ac，则角B的大小是 A.45° B.60° C.90° D.135° 又0°<B<180°，所以B＝45°. 高中数学 必修第二册 RJ·A (2)在△ABC中，若acos B＋acos C＝b＋c，试判断该三角形的形状. 解　由acos B＋acos C＝b＋c并结合余弦定理， 整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0. 因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2， 故△ABC是直角三角形. 高中数学 必修第二册 RJ·A (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，