专题14 平面与平面垂直的判定及性质-2022-2023学年高一数学新教材同步提升之重点题型与难点突破（人教A版2019必修第二册）

专题14平面与平面垂直的判定及性质 题型归类 题型一：二面角的概念 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★+方法技巧 题型二：求二面角的大小 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型三：平面与平面垂直的证明 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型四：垂直关系的相互转化 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★+方法技巧 题型五：平面与平面垂直的性质及应用 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型六：空间垂直关系的综合应用 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 难点突破 突破点一：平面与平面垂直条件的探求 突破点二：直线与平面垂直条件的探求 突破点三：面面垂直动点问题 突破点四：折叠问题 突破点五：空间垂直关系的综合应用 突破点六：文化素养问题 一、题型归类 【题型一】二面角的概念 1★★（单选）若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．关系无法确定 【解析】.如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角H－DG－F的大小不确定．故选D. 2★★★（单选）在二面角α­l­β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α­l­β的平面角的大小为(　　) A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120° 【解析】如图因为AB⊥β， 所以AB⊥l，因为BC⊥α， 所以BC⊥l，所以l⊥平面ABC， 设平面ABC∩l＝D， 则∠ADB为二面角α­l­β的平面角或补角， 因为AB＝6，BC＝3所以∠BAC＝30° 所以∠ADB＝60°， 所以二面角大小为60°或120°. 3★★（多选）下列命题中正确的是(　　) A．两个相交平面组成的图形叫做二面角 B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 【解析】由二面角及其平面角的概念知B，D正确。 4★★（填空）从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小为________。 【解析】若点P在二面角内部，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外部，则二面角的平面角为60°。故二面角α－l－β的平面角的大小为60°或120°。 【方法技巧】 理解二面角的注意点 (1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致。 (2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别。 (3)可利用实物模型，作图帮助判断。 【题型二】求二面角的大小 1★★（单选）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于(　　) A. B. C. D. 【解析】如图所示，连接AC交BD于O， 连接A1O，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角. 设A1A＝a，则AO＝a， 所以tan ∠A1OA＝＝. 2★★★（单选）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】由已知BD＝2CD，翻折后，在，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B－AD－C的平面角，其大小为60°。故选C。 3★★（多选）在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF与平面ABC的二面角为90° D．平面PAE与平面ABC的二面角为90° 【解析】如图所示，因为BC∥DF，BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，所以BC∥平面PDF，所以A正确；由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，又BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，所以B正确；因为BC⊥平面PAE，所以平面ABC⊥平面PA