专题10 复数- 【中职专用】中职高考数学二轮复习专项突破（山东适用）

专题10 复数 课堂笔记 虚数单位 1；虚数单位定义：为了使方程x2＝－1有解，引进一个新数i，叫做虚数单位. （1） i2＝－1 （2） 实数与i进行四则运算时，原有的加法、乘法法则仍然成立。 2：i幂值的周期性 （1） （2） 复数的概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 3.复数的分类 （1）复数z＝a＋bi(a，b∈R) （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 4.复数相等 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. 复数的几何意义 1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用直角坐标平面内的一个点Z(a，b)来表示，如图： 2.复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b). 复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3.复数的模 （1）定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝. 共轭复数 1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数. 2.表示：z的共轭复数用表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi. 复数的加法和减法 1．复数的加、减法运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i． 2．复数加法的运算律 (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1； (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 复数的乘法 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数乘法的运算律 对于任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 解实系数一元二次方程 实系数一元二次方程 . 当时，， 此时原方程有两个不相等的虚数根 . （为一对共轭虚数根） 考点解读 考点1复数的概念 【例1】下列命题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是(　　) A.① B.② C.③ D.④ 【答案】D 【解析】对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正确. 【方法总结】复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 下列说法中，正确的是(　　) A．1－ai(a∈R)是一个复数 B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若a＞b，则a＋i＞b＋i 【答案】A　 【解析】由复数的定义知A正确；当a∈R，b＝0时a＋bi(b∈R)表示实数，故B项错误；如果两个复数同时是实数时，可以比较大小，故C项错误；a＋i与b＋i不能比较大小，故D项错误. 考点2 复数的分类 【例2】求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足： (1)z是实数； (2)z是纯虚数； (3)z是复平面中对应的点位于第二象限. 【解析】（1）由题意得，所以； （2）由题意得，所以； （3）由题意得，所以. 【方法总结】解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部； (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可； (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)： ①z为实数⇔b＝0；②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.　　　　 已知复数． (1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值