专题05 数列- 【中职专用】中职高考数学二轮复习专项突破（山东适用）

专题5 数列 课堂笔记 数列的定义 1.数列的定义 我们把按照一定的次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．从开始的项起，自左至右排序，各项按照其位置依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3项，…，第n项，…，其中反映各项在数列位置的数字1,2,3,…,n,…分别叫做对应的项的项数. 2.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 3.数列的通项（或一般项） 无穷数列的一般形式可以写作，简记作，其中,下角码中的数为项数,表示第1项，表示第2项，…当n由小至大依次取正整数值时，依次可以表示数列中的各项,因此,通常把第项叫做数列的通项或一般项. 数列的通项公式 通项公式：一个数列的第n项an，与如果能够用关于n的一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 等差数列的定义 如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，一般用字母d表示． 若数列为等差数列，为公差， 则,即. 等差数列的通项公式 设等差数列 的公差为d ， 则 等差数列的前n项和公式 已知等差数列{an}的首项a1、末项an及项数n， 为公差，前项和公式为 等差数列的性质 1.在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 2在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 等比数列的定义 这个数列的特点是，从第2项起，每一项与它前面一项的比都等于2．如果一个数列的首项不为零，且从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示． 由定义知，若为等比数列，q为公比，则与q均不为零，且有，即 等比数列的通项公式 设等比数列的公比为q 则 等比数列的前n项和公式 等比数列的前n项和为 还可以写成 当时，等比数列的各项都相等， 此时它的前项和为． 等比数列的性质 1.公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m，所得数列是等比数列， 公比为q； 2.若{an}是等比数列，且m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N＋，则am·an＝ap·aq； 考点解读 考点1 数列中项的求解 【例1】已知数列{an}的通项公式an＝n2－2n－1(n∈N＋)，则a3等于(　　) A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【解析】an＝n2－2n－1(n∈N＋)， 则a3＝32－2×3－1＝2. 【方法总结】利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 【跟踪训练】数列{an}的通项公式是an＝(n∈N＋)，则a10＝________． 【答案】 【解析】∵an＝(n∈N＋)， ∴ 考点2 数列中项的判断 【例2】已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N＋)，则是这个数列的 A． 第8项　　　　B．第9项 B． C．第10项 D．第12项 【答案】C 【解析】由题意得an＝＝.得n＝10(n＝－12舍去)．故选C 【方法总结】判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项． 【跟踪训练】323是数列{n(n＋2)}的第________项． 【答案】17 【解析】由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去)． ∴323是数列{n(n＋2)}的第17项． 考点3 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 【例3】数列－，，－，，…的一个通项公式是an＝(____) A．－ B. C. D. 【答案】B 【解析】 －＝(－1)×，＝(－1)2×，－＝(－1)3×，＝(－1)4×，所以其通项公式是an＝. 【方法总结】根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号． 【跟踪训练】数列－，3，－3，9，…的一个通项公式是(　　) A．an＝(－1)n(n∈N*) B．an＝(－1)n(n∈N*) C．an＝(－1)n＋1(n∈N*) D．an＝(－1)n＋1(n∈N*) 【答案】B 【解析】把数列的前4项统一形式