小卷10 四边形小综合题-【智乐星中考·中考备战】2023年山东聊城中考数学（青岛版六三学制）

小卷10　四边形小综合题 姓名：________　　班级：________ 1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相较于点O，∠EAC＝∠BAC，CE⊥AE，交AD于点F，连接DE，OF. (1)求证：OF⊥AC； (2)当∠BAC与∠ACB满足什么数量关系时，四边形AODE是菱形？请说明理由． 2．如图，在正方形ABCD中，点P在边BC的延长线上．连接AP交BD于点F，过点C作CG∥AP交BD于点G，连接AG，CF. (1)求证：△ADF≌△CBG； (2)判断四边形AGCF是什么特殊四边形？请说明理由． 3．如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交边AD，BC于点E，F，过点O的直线GH分别交边AB，CD于点G，H，∠BOF＝∠DOH. (1)求证：△GOE≌△HOF； (2)当AB＝BC时，四边形GFHE是什么特殊四边形？请说明理由． 4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE＝AC. (1)求证：AB＝AF； (2)若∠ACB＝30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 5．已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B＝∠D，点E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是正方形？请证明． 6．如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F. (1)若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形； (2)若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积． 参考答案 1．(1)证明：∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°. ∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC. 在Rt△AEC和Rt△ABC中， ∴Rt△AEC≌Rt△ABC(AAS)，∴∠ECA＝∠BCA. ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA＝∠ECA，∴AF＝CF. ∵点O为矩形对角线的交点，∴AO＝CO，∴OF⊥AC. (2)解：当∠BAC＝2∠ACB时，四边形AODE是菱形． 理由如下：∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°. ∵∠BAC＝2∠ACB，∴2∠ACB＋∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝30°，∴∠BAC＝2∠ACB＝60°. ∵四边形ABCD为矩形，∴AO＝CO＝BO＝DO， ∴△ABO为等边三角形，∠DAO＝∠ADO＝∠ACB＝30°， ∴AB＝AO. 由(1)知△AEC≌△ABC， ∴AE＝AB＝AO＝DO，∠EAC＝∠BAC＝60°， ∴∠EAD＝60°－30°＝30°，∴∠EAD＝∠ADO＝30°，∴AE∥OD. ∵AE＝OD，∴四边形AODE为平行四边形． 又∵AE＝AO，∴▱AODE为菱形， ∴当∠BAC＝2∠ACB时，四边形AODE是菱形． 2．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD. ∵GC∥AP，∴∠GCB＝∠P. ∵AD∥BP，∴∠DAF＝∠P，∴∠GCB＝∠DAF. 在△ADF和△CBG中， ∴△ADF≌△CBG(ASA). (2)解：四边形AGCF为菱形．理由如下： ∵△ADF≌△CBG，∴AF＝CG. 又∵AF∥CG，∴四边形AGCF为平行四边形． 如图，连接AC. ∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD， ∴▱AGCF是菱形． 3．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD. ∵点O是BD的中点，∴BO＝OD. 又∵∠EOD＝∠FOB，∴△DOE≌△BOF(ASA)， ∴OE＝OF. 同理△GOB≌△HOD，∴GO＝OH. 又∵∠GOE＝∠HOF，∴△GOE≌△HOF(SAS)． (2)矩形． 理由如下：∵OG＝OH，OE＝OF， ∴四边形GFHE是平行四边形． ∵AB＝BC，∴▱ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB. ∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠ABD＝∠DBC. ∵∠BOF＝∠DOH，∠BOG＝∠DOH，∴∠BOG＝∠BOF. 又∵OB＝OB，∴△GOB≌△FOB(ASA)，∴OG＝OF. ∵OG＝OH，OE＝OF，∴OG＝OH＝OE＝OF， ∴OG＋OH＝OE＋OF，即GH＝EF， ∴▱GFHE是矩形． 4．(1)证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥AC，∴∠ABC＝∠AFE＝90°. 在Rt△ABC和Rt△AFE中， ∴Rt△ABC≌Rt△AFE(AAS)，∴AB＝AF. (2)解：四边形AGCD是菱形． 证明如下：∵∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，∴2AB＝A