20微专题三 线段中点六大模型的运用（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东聊城中考数学（青岛版六三学制）

精讲本 2023 山东 数学 1 微专题三　线段中点六大模型的运用 已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理 2 【模型分析】 条件：点D是AB边上的中点． 作法：过点D作DE∥BC. 结论：DE＝ BC. 原理：中位线的性质． 3 例1 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝BD，点E，F分别是AB，CD的中点，连接EF，分别交AC，BD于点N，M，判断△OMN的形状． 4 【规范解答】 解：△OMN是等腰三角形．理由如下： 如图，取BC的中点H，连接EH，FH. ∵点E是AB的中点，点H是BC的中点，∴EH＝ AC，EH∥AC. 同理得FH＝ BD，FH∥BD. ∵AC＝BD，∴HE＝HF，∴∠HEF＝∠HFE. ∵EH∥AC，∴∠HEF＝∠ONM. 同理得∠OMN＝∠HFE，∴∠OMN＝∠ONM， ∴OM＝ON，∴△OMN是等腰三角形． 5 【模型分析】 条件：等腰三角形底边的中点． 作法：常作底边的中线． 结论：等腰三角形的“三线合一”． 原理：等腰三角形的性质． 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一” 6 例2 (2021·本溪)如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF.若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为(　　) A. ＋1 B. ＋3 C. ＋1 D．4 7 8 【模型分析】 条件：点D是底边BC上的中点． 作法：连接AD. 结论：S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC. 原理：两个三角形等底同高． 遇到一边中点的面积问题，考虑用三角形的中线等分其面积 9 例3 如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线．如果△DEF的面积是2，那么△ABC的面积为(　　) A．12 B．14 C．16 D．18 10 解：∵DF是△CDE的中线，∴S△CDE＝2S△DEF. ∵CE是△ACD的中线，∴S△ACD＝2S△CDE＝4S△DEF. ∵AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ACD＝8S△DEF. ∵△DEF的面积是2，∴S△ABC＝2×8＝16.故选 C. 11 【模型分析】 条件：点E是边AC上的一点，ED⊥BC，BD＝CD. 作法：连接BE. 结论：BE＝EC. 原理：垂直平分线的性质． 遇到一边中点的垂线，考虑用垂直平分线的性质 12 例4 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE(垂足为D)交BC的延长线于点E，求线段CE的长． 13 【规范解答】 解：如图，连接AE.设CE的长为x，则BE＝x＋3. 在Rt△ABC中，BC＝3，AC＝4，由勾股定理得AB＝5. ∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE＝x＋3. 在Rt△ACE中，由勾股定理得x2＋42＝(3＋x)2， 解得x＝ ，即CE＝ . 14 【模型分析】 条件：在直角三角形中，当已知条件中出现斜边上的中点． 作法：作斜边上的中线． 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 原理：直角三角形的性质． 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边上的中线 15 例5 如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的 角平分线相交于点E，点F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED的 值为(　　) A．125° B．145° C．175° D．190° 16 解：如图，连接DF. ∵CD⊥AB，点F为边AC的中点， ∴DF＝ AC＝CF. 又∵CD＝CF，∴CD＝DF＝CF， ∴△CDF是等边三角形，∴∠ACD＝60°. ∵∠B＝50°，∴∠BCD＋∠BDC＝130°. ∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E， ∴∠DCE＋∠CDE＝65°，∴∠CED＝115°， ∴∠ACD＋∠CED＝60°＋115°＝175°.故选C. 17 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 18 【模型分析】 条件：已知条件中出现三角形一边的中点． 作法：采用倍长中线法或倍长类中线法． 结论：倍长中线法或倍长类中线法可知延长后所得线段与原中线相等，且出现对顶角相等． 原理：构造全等三角形． 19 例6 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，延长BF交AC于点E，且AE＝EF，求证：BF＝AC. 20 【规范解答】 证明：如图，延长FD至点G，使DG＝DF，连接CG. ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD. 在△BDF和△CDG中， ∴△BDF≌△CDG(SAS)， ∴BF＝CG，∠BFD＝∠G.