13第三章 第四节 二次函数的图象与性质（精讲本）-【智乐星中考·中考备战】2023年山东聊城中考数学（青岛版六三学制）

精讲本 2023 山东 数学 1 第四节　二次函数的图象与性质 1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数． 知识点1 二次函数的概念及表达式 2 2．二次函数表达式的三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)； (3)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0. 3 1．二次函数的图象与性质 二次函数的图象与性质 知识点2 4 5 减小 增大 增大 减小 6 2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系 7 8 1．将抛物线表达式化成顶点式为y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为(h，k)． 2．保持y＝ax2的形状不变，将其顶点平移到(h，k)处，具体平移方法如下： 抛物线的平移 知识点3 9 3．根据图象变化确定二次函数表达式 (1)将已知表达式化为顶点式y＝a(x－h)2＋k； (2)根据下表求出变化后的a，h，k； (3)将变化后的a，h，k代入顶点式中即可得到变化后的表达式． 10 1．与方程的关系 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标； (2)①b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有_____个 交点； ②b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有_____ 个交点； ③b2－4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴_______交点． 二次函数与方程、不等式的关系 知识点4 两 一 没有 11 2．与不等式的关系 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集⇔抛物线位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围； (2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集⇔抛物线位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围. 12 例1 (2021·聊城)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一 次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝ 的图象在同一坐标系中 大致为(　　) 二次函数的图象与性质 (10年4考) 命题点1 13 14 练1 (2021·滨州)对于二次函数y＝ x2－6x＋21，有以下结论：①当 x>5时，y随x的增大而增大；②当x＝6时，y有最小值3；③图象与x轴有 两个交点；④图象是由抛物线y＝ x2向左平移6个单位长度，再向上平 移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 A 15 例2 已知二次函数y＝ax2＋bx－3(a≠0)的图象经过点(2，－3)， (－1，0)，求二次函数的解析式． 【规范解答】 二次函数表达式的确定　(10年8考) 命题点2 16 变式1 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(2，4)，且经过点(3，5)，求二次函数的表达式． 解：设二次函数的表达式为y＝a(x－2)2＋4(a≠0)． 将点(3，5)代入二次函数表达式得a＝1， ∴二次函数的表达式为y＝(x－2)2＋4＝x2－4x＋8. 17 变式2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点坐标为(1，0)，(2，0)，且经过点(3，6)，求二次函数的表达式． 解：∵二次函数图象与x轴交于点(1，0)，(2，0)， ∴设二次函数的表达式为y＝a(x－1)(x－2)(a≠0)， 将点(3，6)代入二次函数表达式得a＝3， ∴二次函数的表达式为y＝3(x－1)(x－2)＝3x2－9x＋6. 18 变式3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(－1，8)，对称轴是直线x＋2＝0，且在x轴上截得的线段长为6，求二次函数的表达式． 解：∵二次函数的图象的对称轴为直线x＋2＝0，且在x轴上截得的线段长为6， ∴二次函数的图象与x轴的交点为(－5，0)，(1，0)， ∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋5)(x－1)(a≠0)， 将点(－1，8)代入二次函数表达式得a＝－1， ∴二次函数的表达式为y＝－(x＋5)(x－1)＝－x2－4x＋5. 19 变式4 已知抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0)． (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其表达式． 20 例3 要将抛物线y＝x2＋2x＋3平移后得到抛物线y＝x2，下列平移方法 正确的是(　　) A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位