5.1.2 导数的概念及其意义（2）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其意义（2） 复习引入 2.用导数定义求函数y=f(x)在x=的导数的基本步骤是什么? 第一步，计算函数的平均变化率= ； 第二步，求极限 ,若极限值存在，则导数 1. 平均变化率与瞬时变化率（导数）的概念； 问题1 我们知道，导数f'(x0)表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，那么导数f'(x0)的几何意义是什么? x y x0 x0+∆x f(x0) f(x0+∆x) y=f(x) O P • P0 T • f(x0+∆x)-f(x0) 探究新知 观察函数y=f(x)的图像 , 平均变化率和瞬时变化率各表示什么? 与上一节问题2中抛物线的割线与切线的关系类似，对于一般的函数y=f(x),当P无限趋近于P0时， 割线位置 切线位置 无限逼近 割线斜率 切线斜率 无限逼近 于是，我们得到 割线的斜率 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即 这就是导数的几何意义. 结论: 1. 导函数的概念 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即 想一想: y=f′(x)与y=f′(x0)有什么区别与联系 ？ 例1 求曲线 f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线方程． 典例剖析 t1 h t0 O • • t2 • t 例4 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况. l2 l1 l0 解: (1)当t=t0时, 曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴, h'(t0)=0. 这时, 在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当t=t1时, 曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(1)<0. 这时, 在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时, 曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0. 这时,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 从图中可以看出, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度, 这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. 问题2：通过例4，你能总结一下如何根据导数的取值情况来判断函数在某点的增减吗？ （1）函数y=f(x)在x0处切线的倾斜角为锐角 ⇔f′(x0) >0 ⇔函数y=f(x)在x0附近单调递增 x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 P4 P3 P2 P1 （2）函数y=f(x)在x0处切线的倾斜角为零角 ⇔f′(x0) =0 ⇔函数y=f(x)在x0附近没有增减 （3）函数y=f(x)在x0处切线的倾斜角为钝角 ⇔f′(x0) <0 ⇔函数y=f(x)在x0附近单调递减 某点处导数为正，则函数在该点附近单调递增 某点处导数为负，则函数在该点附近单调递减 追问：结合右图，你能总结一下如何根据导数的取值情况来判断函数在某点的增减快慢吗？ x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 P4 P3 P2 P1 导数的绝对值越大，增（减） 的速度越快剂 函数在 函数在 例5 下图中是人体血管中药物浓度c=f(t) (单位: mg/mL)随时间t (单位:min)变化的函数图象. 根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 解：血管中某一时刻药物浓度 的瞬时变化率, 就是药物浓度 f(t)在此时刻的导数，从图象上 看, 它表示曲线f(t)在此点处的 切线的斜率. 如图示，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值. 作t=0.8处的切线, 并在切线上取两点, 如(0.7, 0.91), (1.0, 0.48), 则该切线的斜率 1. 根据图象，描述曲线h(t)在t=t3, t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况. t4 h t3 O • • t • l3 l4 解: (1) 当t=t3时, 曲线h(t)在t=t3处的切线l3的斜率h′(3)>0. 这时, 曲线在t=t3附近上升