5.1.2 导数的概念及其意义（1）课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其意义（1） 前面我们研究了两类变化率问题: 一类是高台跳水运动员的平均速度与瞬时速度(物理问题）； 另一类是抛物线割线的斜率与切线的斜率（几何问题） 问题1:请你梳理解决上述两类变化率问题的过程，在解决这两类问题时采用的思想方法具有一致性吗? 结果的表示形式具有一致性吗? 思想方法:极限思想 物理意义 几何意义 表示形式 平均速度 瞬时速度 表示过两点（ h()) 、 （ h()) 割线的斜率 表示曲线在点（ h()) 处切线的斜率 瞬时速度对应函数h＝h(t)在t＝t0处的瞬时变化率. 从变化率的角度来看： 平均速度对应函数h＝h(t)从t0到t0＋∆t的平均变化率. 1. 平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为 ∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 我们把比值 ，即 叫做函数y＝f(x)从从x0到x0＋∆x的平均变化率. 探究新知 类似地，运用上述思想我们可以定义函数y=f(x)的平均变化率和瞬时变化率: 2. 导数的概念 如果当∆x→0时，平均变化率 无限趋近于一个确定的值，即 有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 或 ，即 注：瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率 . 例如问题1中运动员在t=1时的瞬时速度为v(1)就是函数h(t)在t=1处的导数h′(1)，即 问题2中抛物线f(x)＝x2在点P0(1, 1)处的切线P0T的斜率k0就是函数f(x)＝x2在x＝1处的导数f′(1)，即 思考: 在导数的定义中，函数y=f(x)在x＝x0处可导的前提条件是 ① 的值是唯一确定的. 是否对于任意一个函数y=f(x) , 上式的值都是唯一确定的呢？ 请结合以下两个实例，回答上述问题: 结论并不是对所有的函数， ①的值都是一个唯一确定的值。即并不是对所有的函数在其定义域内的每一点都可导 例1 解： 典例剖析 则 =__________ 变式：已知函数y=f(x)满足 解：在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2)和 f′(6). 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 已知在第x h时，原油的温度(单位: °C)为 . 计算第2 h与第6 h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 在第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率分别为－3 ℃/h与5 ℃/h. 说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率下降；在第6 h附近，原油温度大约以5 ℃/h的速率上升. 一般地，f'(x0) (0≤x0≤8) 反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况. 解：在第2 s和6 s时，汽车的瞬时加速度就是v′(2)和 v′(6). 例3 一 辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设t s时汽车的速度(单位: m/s) 为 ，求汽车在第2 s与第6 s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 在第2s与第6s时，汽车的瞬时加速度分别为2m/s2与－6m/s2. 说明在第2s附近，汽车的速度每秒大约增加2m/s；在第6s附近，汽车的速度每秒大约减少6m/s. 1. 在例2中，计算第3 h与第5 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解： 在第3 h附近，原油温度大约以1 ℃/h的速率下降；在第5 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速率上升. 课本P66 解： 课本P66 3. 一质点A沿直线运动，位移y(单位: m)与时间t(单位: s)之间的关系为y(t)=2t2+1，求质点A在t =2.7 s时的瞬时速度. 课本P66 总结：如果函数y=f(x)是位移关于时间的函数s=s(t) ，则 (t) 表示函数s=s(t) 在t＝t0 时刻的瞬时速度