6.1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

直线 6.1 .1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 问题导入 l l 思考1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ l 计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法.但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法. 因为英文字母共有个，阿拉伯数字共有个，所以总共可以编出 种不同的号码. 新知探索 l l 问题1：你能说一说这个问题的特征吗？ l 首先，这里要完成的事情是“给一个座位编号”；其次是“或”字的出现：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示.因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以用英文字母编出的号码与用阿拉伯数字编出的号码也互不相同.这两类号码数相加就得到了号码的总数. 上述计数过程的基本环节是： (1)确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类； (2)分别计算各类号码的个数; (3)各类号码的个数相加，得出所有号码的个数. 新知探索 l l l 一般地，有如下分类加法计数原理： 完成一件事情有两类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 例析 例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表.如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？ l 解：这名同学可以选择两所大学中的一所.在大学中有种专业选择方法，在大学中有种专业选择方法.因为没有一个强势专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为：. 大学 大学 生物学 数学 化学 会计学 医学 信息技术学 物理学 法学 工程学 新知探索 l l 问题2：如果完成一件事有三类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事有类不同方案，在每一类方案中都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？ l 思考2：用前6个大写英文字母和这个阿拉伯数字，以，，…，，， ,…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？ 新知探索 l l 这里要完成的事情仍然是“给一个座位编号”，但与前一问题的要求不同.在前一问题中，用26个英文字母中的任意一个或10个阿拉伯数字中的任意一个,都可以给出一个座位号码.但在这个问题中，号码必须由一个英文字母和一个作为下标的阿拉伯数字组成，即得到一个号码要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这样两个步骤.用如图所示的方法可以列出所有可能的号码. l 新知探索 l l 也可能这样思考：由于前个英文字母中的任意一个都能与个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有种不同的号码. l 问题3：你能说一说这个问题的特征吗？ 上述问题要完成的一件事情仍然是“给一个座位编号”，其中最重要的特征是“和”字的出现：一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成.因此得到一个座位号要经过先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字这两个步骤，每一个英文字母与不同的数字组成的号码是互不相同的. 新知探索 l l l 一般地，有如下分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤，做第步有种不同的方法，在第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 例析 例2.某班有男生名、女生名，从中任选男生和女生各名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？ l 解：第步，从名男生中选出人，有种不同选法；第步，从名男生中选出人，有种不同选法.根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为. 问题4：如果完成一件事需要三个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事有类不同方案，做每一步都有若干种不同的方法，那么应当如何计数呢？ 例析 例3.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书. (1)从书架上任取1本书，有多少种不同取法？ (2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，有多少种不同取法？ l 解：(1)从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书，有