6.3组合数的计算 （第2课时）（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第6章 计数原理 ６．3 组合数的计算 （第2课时） 1 学习目标 1.能利用计数原理推导组合数公式. 2.能解决有限制条件的组合问题. 3.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提升逻辑推理及数学运算素养. 宋老师数学精品工作室 某校开展秋季运动会招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号，2号，…，19号，20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个标号较大的在另一组，那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取方法有多少种？ 情境引入： 问题　上述问题情景中，是一个较为复杂的组合问题，如何用组合数解决此问题？ 2 组合数的计算 类似于排列数，我们给出组合数的定义： 定义 从 个互不相同的元素中，取出 个不同元 素的所有组合的个数，叫做从 个元素中取出 个元素的组合 数，用符号 表示． 因此，从甲、乙、丙３名学生中任选２名，有 种不同的 方法 下面我们研究组合数 的计算方法，这可以从组合数 与排列数 的关系入手 例如，从３个不同元素 中取出２个不同元素的排列 与组合的关系如表６-１所示： 从表６-１可以看到，对于每一个组合都有２种不同的排列． 因此， 求从３个互不相同的元素中任取２个不同元素的排列数 ，以分成 以下两步进行 第一步，从３个互不相同的元素中任取２个不同元素，共有 个不同的组合； 第二步，将每一个组合中的２个元素进行全排列，各有 个排列． 根据乘法原理，有 一般地，从 个互不相同的元素中任取 个不同元素进行排列， 可以分成以下两步进行： 第一步，从 个互不相同的元素中任取 个不同元素，共 有 个不同的组合； 第二步，将每一个组合中的 个元素进行全排列，各有 个排列 这样，根据乘法原理，从 个互不相同的元素中任取 个 不同元素的排列数 满足 其中 及 是正整数，且 ．这个公式称为组合数公式． 例３ 圆上有１０个不同的点，以其中任意３个点为顶点， 可以组成多少个不同的三角形？ 解 由于圆上的１０个点中不可能有三点共线，因此以其中 任意３个点为顶点的三角形的个数，就是从１０个互不相同的元 素中任取３个不同元素的组合数，即 因此，可以组成１２０个不同的三角形． 例４ 某校高中一年级举行篮球赛．比赛时先分成两组， 其中１班、２班、３班、４班为第一组，５班、６班、７班、８班、 ９班、１０班为第二组．各组先进行单循环赛（即同组中的每两支队都要比赛一场），然后由各组的前两名共４支队进行单循环赛决出冠军和亚军．问：一共需要比赛多少场？ 解 由题意，第一组单循环赛的比赛场数是 第二组单循 环赛的比赛场数是 ；各组的前两名共４支队再进行单循环赛， 还需要 比赛 场．所以，这次篮球赛一共需要比赛的场次为 例５ 有甲、乙、丙三项任务，其中甲需２人承担，乙、 丙各需１人承担．现从１０人中任选４人承担这三项任务，不同的选法有多少种？ 解 从１０人中任选４人分配任务，可分成以下三个步骤： 第一步：从１０人中任选２人承担甲任务，有 种选法； 第二步：从余下的８人中任选１人承担乙任务，有 种选法； 第三步：从余下的７人中任选１人承担丙任务，有 种选法． 根据乘法原理，不同选法的种数为 例６ 某班要选举班干部，现有１０名候选人． （１）从这１０名候选人中任选５人组成班委，有多少种不 同的选法？ （２）从这１０名候选人中任选５人分别担任班委中五项不同 的职务，每项职务由一人担任，每人只担任一项职务，有多少种 不同的选法？