4.2.2 等差数列的前n项和公式（第1课时）-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

第四章 数列 等差数列的 前n项和公式 授课人：XXX 第1课时 学习目标 探索等差数列前项和公式的推导过程. 掌握等差数列前项和公式及其应用. 核心素养 逻辑推理 等差数列前𝑛项和公式的推导过程. 数学运算 等差数列前𝑛项和的应用. 知识回顾 回顾一下，等差数列的定义是什么？ 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示. 知识回顾 等差数列的通项公式是什么？ 首项为，公差为的等差数列的通项公式为 01 探索等差数列的前n项和公式 问题探究 二百多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却迅速算出了正确答案. 高斯(1777-1855) 德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都作出了杰出贡献. 高斯是如何快速求出 <m></m> 的和？ 问题探究 101 101 101 101×50 问题探究 高斯在求和过程中采用了什么方法？ 采用了首尾配对相加的方法. 高斯的算法实际上解决了求等差数列 前100项的和的问题. 问题探究 你能说说高斯在求和过程中利用了数列 的什么性质吗？ 设，那么高斯的计算方法可以表示为 可以发现，高斯在计算中利用了 这一特殊关系，这就是上一小节例5中性质的应用. 在等差数列中，若，则. 等差数列中，下标和相等的两项和相等 问题探究 高斯求和法的实质是什么？ 高斯算法的实质，就是通过配对凑成相同的数（即101），变“多步求和”为“一步相乘”，即将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”，从而简化了运算. 问题探究 你能用高斯的方法求吗？ 方法一：拿出中间项，再首尾配对 原式 方法二：拿出末项，再首尾配对 原式 问题探究 你能用高斯的方法求吗？ 方法三：先凑成偶数项，再配对 原式 方法二：先凑成偶数项，再配对 原式 问题探究 你能计算吗？ 需要对项数的奇偶进行分类讨论. 当是偶数时，有 于是有 个 问题探究 当是奇数时，有 个 所以，对任意正整数，都有 问题探究 我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦，能否设法避免分类讨论？ 如果对公式 作变形，可得 受此启发，我们得到下面的方法： 它相当于两个相加，而结果变成个相加. 问题探究 将上述两式相加，可得 个 所以 倒序相加 问题探究 我们还可以从几何上体会倒序相加法. 在一堆钢管中，第一层有1根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，第层有根，如何快速求出这堆钢管有多少根？ + ∵ ， ∴ . 1根 根 层 根 根 层 ， 问题探究 倒序相加法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 对于等差数列，因为， 由上述方法得到启示，我们用两种方式表示: ② ③ ②+③，得 问题探究 倒序相加法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 个 即 等差数列的前𝑛项和公式 由此得到等差数列的前项和公式 从该公式可以看出，只要已知等差数列的首项、末项和项数，就可以求得前项和. 等差数列的前𝑛项和公式 如果将公式稍作变形，还会发现等差数列的什么特性呢？ 等差数列前项的平均数等于 . 也可以用来求 的等差中项 等差数列的前𝑛项和公式 能否用和来表示？ 把等差数列的通项公式 代入 ，可得 等差数列的前𝑛项和公式 如果不利用公式，你能用其它方法得到公式吗？ 等差数列的前𝑛项和公式 与均为等差数列的前项和公式. 已知量 求和公式 首项、末项与项数 首项、公差与项数 等差数列的前项和公式中，涉及、、、、五个量，通常已知其中三个量，结合通项公式，可求另外两个量，即“知三求二”. 等差数列的前𝑛项和公式 根据前面的类比推导过程，你能说出等差数列的前项和公式与梯形的面积公式有什么联系吗？ 如图，上底为，下底为，高为，梯形的面积即为数列之和. 等差数列的前𝑛项和公式 根据前面的类比推导过程，你能说出等差数列的前项和公式与梯形的面积公式有什么联系吗？ 如图，这里的梯形由一个三角形和一个平行四边形组成. 02 等差数列前n项和公式的应用 例题解析 例6 已知数列是等差数列. 解： 因为，根据公式 ，可得 （1）若，求； 分析： 已知首项、末项与项数，可以直接利用公式求和. 例题解析 例6 已知数列是等差数列. 解： 因为，所以. 根据公式，得 （2）若，求； 分析： 可以先利用和的值求出，再利用公式求和. 例题解析 例6 已知数列是等差数列. 解： 把代入，得 （3）若，求. 分析： 已知公式中的、和，解方程即可求得. 整理，得 例题解析 例6 已知数列是等差数列. 解： 解得， ，或（舍去）. （3）若，