专题01 集合、充要条件与不等式- 【中职专用】中职高考数学二轮复习专项突破（山东适用）

专题1 集合、充要条件与不等式 课堂笔记 一．集合 集合的有关概念 1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉． 4．五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示非负整数集(或自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 集合间的基本关系 1．子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A⊆B． 2．真子集：若A⊆B，存在x∈B，且x∉A，则AB． 3．相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B． 4．∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 集合的基本运算 并集 交集 补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形 表示 集合 表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 二．充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 3． 不等式 重点一　两个实数比较大小的依据 关系 方法 作差法 作商法 a>b a－b>0 >1(a，b>0)或<1(a，b<0) a＝b a－b＝0 ＝1(b≠0) a<b a－b<0 <1(a，b>0)或>1(a，b<0) 重点二　不等式的性质 1．对称性：a>b⇔b<a． 2．传递性：a>b，b>c⇒a>c． 3．可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d． 4．可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd． 5．可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 6．可开方性：a>b>0⇒> (n∈N，n≥2)． 重点三：区间 1．区间的概念及记法 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] 2．无穷大 实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3．特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤b} (－∞，b] {x|x<b} (－∞，b) 重点四　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 考点解读 考点1 集合的基本概念 【例1】2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由集合中元素的互异性知，两个“墩”相同，去掉一个，“容”“融”不同都保留， 所以有5个元素．故选C。 【方法总结】利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 【跟踪训练】已知集合,那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知集合， 故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误，故选：A 考点2 集合间的基本关系 【例2】设集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，∴，故选：C. 【方法总结】判断两集合关系的常用方法 (1)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系． (2)数形结合法：利用数轴或Venn图直观判断． 【跟踪训练】已知集合，则集合A的子集的个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【解析】集合， 则集合A的子集有：，共8个， 所以集合A的子集的个数为8，故选D 考点3