1.4 三元一次方程组-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(湘教版)

1.4 三元一次方程组 知识点一 三元一次方程组 方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 知识点二 解三元一次方程组 三元一次方程组消元转化成二元一次方程组，再消元转化成一元一次方程。 题型一 灵活解方程组 【例题1】解方程组： (1) （2） （3） 【变式1-1】解方程组 【变式1-2】设线段x、y、z满足，求x、y、z的值． 题型二 三元一次方程组的简单应用 【例题2】在等式中，当时，；当时，：当时，． (1)求，，的值； (2)求当时，的值． 【变式2-1】在等式y＝ax3+bx+c中．当x＝1时，y＝6；当x＝2时，y＝9；当x＝3时，y＝16．求a，b，c的值． 【变式2-2】在等式中，当时，；当时，；当与时，y的值相等，求的值． 题型三 列三元一次方程组解决实际问题 【例题3】某校初中三个年级共有651人，八年级的学生比九年级的学生人数多10%，七年级的学生比八年级的学生人数多5%．三个年级各有多少学生？ 解题技巧提炼 根据题意设三个未知数、寻找三个等量关系，列三元一次方程组解决实际问题。 【变式3-1】甲地到乙地全程是3.3km，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需51min，从乙地到甲地需53.4 min．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？ 【变式3-2】A、B、C三个阀门，同时开放，1小时可注满水池．只开放A、C两个阀门，1.5小时可注满水池．只开放B、C两个阀门，2小时可注满水池． 问：只开放A、B两个阀门，需多少时间才能注满水池？ 题型四 三元一次不定方程组的应用 【例题4】中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？ 解题技巧提炼 当题目中有三个未知数，但只能列出两个方程时，可利用消元法，将其中一个未知数消去，转化为一个二元一次方程，再讨论这个二元一次方程的特殊解。 【变式4-1】一个手机号前三位数中，中间数字是前面数字的三倍；而第一个数字与第三个数字之和是中间数字的两倍．在后八位数中： 前四位数与后四位数之和是4461；前三位数与后五位数之和是82896．求这个手机号是？ 【变式4-2】现有1角、5角、1元硬币各10枚，从中取出15枚，共值7元．1角、5角、1元硬币各取多少枚？ 【变式4-3】中秋将至，某商场推出A、B、C三种月饼礼盒．A礼盒包含甲月饼4个、乙月饼8个；B礼盒包含甲月饼3个，乙月饼8个，丙月饼1个；C礼盒包含甲月饼2个，乙月饼6个，丙月饼1个．已知甲月饼每个20元，乙月饼每个15元，丙月饼每个100元，预计中秋节当天能销售这三种礼盒共18880元，其中甲月饼的销售额为4640元，则丙月饼的销售量为____． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 三元一次方程组 知识点一 三元一次方程组 方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数均为1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。 知识点二 解三元一次方程组 三元一次方程组消元转化成二元一次方程组，再消元转化成一元一次方程。 题型一 灵活解方程组 【例题1】解方程组： (1) （2） （3） 【答案】(1) （2） （3） 【分析】（1）把方程①、②分别变形为，，然后根据代入消元法求解即可． （2） 由于未知数的系数均为1，可以用加减消元法解答． （3）由②+③×3可得，再由由①-④可得，然后把分别代入①，②，即可求解． （1） 解：， 由①得， 由②得， 把，代入③，得， 解得， ∴，， 原方程的解为． （2）解：， ①+②+③得， ∴， ④-③得y＝0， 将y＝0代入①中得：x=2， 将y＝0代入②中得：z=3 故原方程组的解为：． （3）解： 由②+③×3得：， 由①-④得：， 解得：， 把代入①得：， 把，代入②得 ：， 所以原方程组的解为 【变式1-1】解方程组 【答案】 【分析】由①得 ，由②得 ，利用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 由①得 ④， 由②得 ⑤， 把④、⑤代入③得：， 解得 ， 把代入④得 ， 把代入⑤得， ∴． 【变式1-2】设线段x、y、z满足，求x、y、z的值． 【答案】． 【分析】设＝＝＝k，从而可得x+y＝2k，z+x＝3k，y+z＝4k，进而可得