专题09 柱、锥、台、球的表面积与体积-2022-2023学年高一数学新教材同步提升之重点题型与难点突破（人教A版2019必修第二册）

专题09柱、锥、台、球的表面积与体积 题型归类 题型一：棱柱、棱锥、棱台的表面积 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型二：棱柱、棱锥、棱台的体积 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型三：求组合体的表面积和体积 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型四：圆柱、圆锥、圆台的表面积 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型五：圆柱、圆锥、圆台的体积 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★解答5★★+方法技巧 题型六：球的表面积和体积 单选1★★+2★★★+填空3★★解答4★★+方法技巧 难点突破 突破点一：割补法 突破点二：正棱台综合问题 突破点三：复杂几何体的表面积 突破点四：文化素养的侧面积综合问题 突破点五：实际应用问题 突破点六：球的切、接问题 突破点七：图形运动问题 突破点八：构造函数求最值 一、题型归类 【题型一】棱柱、棱锥、棱台的表面积 1★★（单选）正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为(　　) A．32 B．48 C．64 D． 【解析】如图所示，在正四棱锥，连接AC，BD交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高，则OE＝PE，因为OE＝AB＝2，所以PE＝4，则S侧＝4××4×4＝32。 2★★★（单选）已知长方体的表面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条体对角线长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D.5 【解析】设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则长方体的表面积S＝S侧＋2S底＝2(a＋b)·c＋2ab＝11，即ab＋bc＋ca＝　①， 因为十二条棱长度之和为4(a＋b＋c)＝24，即a＋b＋c＝6　②， ②2－2×①得a2＋b2＋c2＝36－11＝25，所以长方体的一条体对角线长为＝5。 3★★（多选）长方体ABCD­A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则(　　) A．长方体的表面积为20 B．长方体的体积为6 C．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3 D．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2 【解析】长方体的表面积为2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22，A错误．长方体的体积为3×2×1＝6，B正确．如图①所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1.在表面上求最短距离可把几何体展开成平面图形，如图②所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开， 则有AC1＝，即当经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是；如图③所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝＝3，即当经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3；如图④所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开， 则有AC1＝＝2，即当经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2. 因为3<2，所以沿长方体表面从A到C1的最短距离是3，C正确，D不正确． 4★★（填空）若一个正六棱柱的底面边长为a，侧面对角线的长为2a，则它的表面积为________。 【解析】正六棱柱的底面边长为a，所以正六棱柱的底面面积为S底＝，又侧面对角线的长为2a，所以侧棱长为a，则该正六棱柱的表面积为S表＝2S底＋S侧＝2×＋6a×a＝9a2。 5★★（解答）如图，已知正三棱锥S­ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积． 【解析】如图， 设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE＝h′. 因为S侧＝2S底， 所以3·a·h′＝a2×2.所以a＝h′. 因为SO⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2. 所以32＋＝h′2. 所以h′＝2，所以a＝h′＝6. 所以S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18. 所以S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27. 【方法技巧】 棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法技巧 (1)求棱柱，棱锥及棱台的侧面积和表面积的关键是求底面边长、高、斜高、侧棱。求解时要注意直角三角形和梯形的应用。 (2)正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面都全等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数。 【题型二】棱柱、棱锥、棱台的体积 1★★（单选）已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长是2，则这个长方体的体积是(　　) A．