6.1 乘法原理（第1课时）（教学课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020选修第二册） 第6章 计数原理 ６.１ 乘法原理（第1课时） 1 计数原理 　　自远古以来，数 的概念就来源于数 这个动作．直到今天，精确地知道一个有 限集合中元素的个数，仍然是一类非常重要的 问题．例如，在必修课程第１２章中，我们已经 看到古典概率的计算往往需要用到一些集合的 元素个数之间的比值，但在那里，因为样本空 间较小，大多数计数都是通过枚举完成的．在 本章里，我们将学习一些基本的计数原理，以 便能够解决更多的计数问题 ６．１　　乘法原理与加法原理 １ 乘法原理 先看下面的问题： 如图６-１-１，从甲地到丙地，需经过乙地．其中， 从甲地到乙地有３条路线 而从乙地到丙地有２ 条路线 、 ．那么，从甲地经由乙地到丙地，共有多少种不同 的走法？ 从甲地到乙地有３种不同的走法，按其中任何一种走法到达 乙地后，再由乙地到丙地又有２种不同的走法．于是，不同的走 法就有以下６种情形（其中符号 的含义是“先走路线 ， 再走路线 ”，其余类同） 其中，每一种情形都可“从甲地经由乙地到丙地”．因此，从甲地 经由乙地到丙地共有 ３×２＝６ 种不同的走法． 这里使用的就是下面的 例１ 一个三层的书架上共放有９本书，其中第一层放有 ４本不同的语文书，第二层放有３本不同的数学书，第三层放有 ２本不同的外语书．若从书架的第一、二、三层各取１本书，共 有多少种不同的取法？ 解 从书架的第一、二、三层各取１本书，可以分三个步骤 完成： 第一步：从第一层取１本语文书，有４种取法； 第二步：从第二层取１本数学书，有３种取法； 第三步：从第三层取１本外语书，有２种取法． 根据乘法原理， 不同取法的种数为 ４×３×２＝２４ 即从书架的第一、二、三层各取１本书，有２４种不同的取法． 例２ 用１、２、３、４、５可以组成多少个没有重复数字的 三位数？ 解 要组成一个没有重复数字的三位数，可以分三个步骤 完成： 第一步：确定百位上的数字，从５个数字中任选一个，有５ 种选法； 第二步：确定十位上的数字，因为不允许有重复数字，所以 从第一步余下的数字中任选一个，有４种选法； 第三步：确定个位上的数字，因为不允许有重复数字，所以 从前两步余下的数字中任选一个，有３种选法． 根据乘法原理，不同取法的种数为 ５×４×３＝６０． 因此，可以组成６０个没有重复数字的三位数． 例３ 正整数５４０有多少个不同的正约数？ 解 将５４０进行素因数分解，得 ５４０＝２２×３３×５ 因此，５４０的正约数都可以写成 的形式，其 ， ，通过 的不同取值，可以得到 ５４０的所有不同的正约数． 这样，确定５４０的正约数可以分下面三个步骤完成： 第一步：确定约数中 的值，有 共３种可能； 第二步：确定约数中 的值，有４种可能； 第三步：确定约数中 的值，有２种可能． 根据乘法原理，５４０ 的不同正约数的个数为 ３×４×２＝２４． 因此，５４０有２４个不同的正约数 课本练习 宋老师数学精品工作室 练习６．１（１） １．公园有４个门，从一个门进，再从另一个门出，共有多少种不同的走法？ ２．４名学生报名参加两项体育比赛，每名学生可参加的比赛数目不限，每项 比赛参加的人数不限，共有多少种不同的报名结果？ 答案：1.12，2.81 随堂检测 宋老师数学精品工作室 1．（2023·上海·高三专题练习）4名运动员同时参与到三项比赛冠军的 争夺，则最终获奖结果种数为（    ） 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式作答. 【详解】每一项比赛的冠军在4个人中选取有4种方法， 由分步乘法计数原理得：最终获奖结果种数为 . 2．（2023·上海·高三专题练习）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不