专题04 【五年中考+一年模拟】规律探究综合题-备战2023年青岛中考数学真题模拟题分类汇编

专题04 规律探究综合题 1．（2022•青岛）【图形定义】 有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、 例如：如图①，在和△中，，分别是和边上的高线，且、则和△是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和△的面积， 则，， ． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则　　； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则　　，　　； （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则　　． 2．（2021•青岛）问题提出： 最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形． 问题探究： 为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． （1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1．按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，1，，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表① 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 1 1 ，1， 1 1个1 （2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2．根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，1，，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，2，，有1个，所以总共有个整数边三角形． 表② 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 2 1 ，1， 1 2个1 2 ，2， 1 （3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况： 表③ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长 整数边三角形个数 计算方法 算式 3 1 ，1， 1 2个2 2 ，2，，，2， 2 3 ，3， 1 （4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况： 表④ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，第三边长） 整数边三角形个数 计算方法 算式 4 1 ，1， 1 3个2 2 ，2，，，2， 2 3 ，3，，，3， 2 4 ，4， 1 （5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空： 表⑤ 最长边长 最短边长 （最长边长，最短边长，三边长 整数边三角形个数 计算方法 算式 5 1 ，1， 1 　　 　　 2 ，2，，2， 2 3 　　 　　 4 ，4，，4， 2 5 ，5， 1 问题解决： （1）最长边长为6的整数边三角形有 　　个． （2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数． （3）最长边长为128的整数边三角形有 　　个． 拓展延伸： 在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有 　　个． 3．（2020•青岛）实际问题： 某商场为鼓励消费，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？ 问题建模： 从1，2，3，，为整数，且这个整数中任取 个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？ 模型探究： 我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： （1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表① 所取的2个整数 1，2 1，3 2，3 2个整数之和 3 4 5 如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果． （2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？ 表② 所取的2个整数 1，2 1，3 1，4 2，3 2，4 3，4 2个整数之和 3 4 5 5 6 7 如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果． （3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有　　种不同的结果． （4）从1