7.3.2 复数乘除运算的三角表示式及其几何意义（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

7.3.2 复数乘除运算的三角表示式及其几何意义 第 7章 复数 人教A版2019必修第二册 学习目标 1.了解复数乘、除运算的三角表示（重点） 3.会利用复数三角形式进行复数乘、除运算（重点、难点） 2.了解复数乘、除运算的几何意义 复数的两种形式 代数形式 三角形式 实部 虚部 辐角 辐角主值 知识回顾 复数的三角形式和代数形式可以根据需要进行互化. 复数的代数形式的乘除运算法则 两角和（差）的正弦、余弦公式 （1） （2） 知识回顾 如果把复数z1，z2分别写成三角形式 ， 你能计算z1z2并将结果分别表示成三角形式吗？ 这就是说，两个复数相乘, 积的模等于各复数的模的积, 积的辐角等于各复数的辐角的和. 5 由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？ 探究 两个复数z1，z2相乘时，可以像图7.3-6那样，先分别画出与z1，z2对应的向量OZ1，OZ2，然后把向量OZ1绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2<0，就要把OZ1绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍，得到向量OZ，OZ表示的复数就是积z1z2． 这是复数乘法的几何意义． 6 你能解释i2和(－1)2=1的几何意义吗？ ？ 7 【例3】已知 ， ，求z1z2，请把结果化为代数形式，并做出几何解释. 首先做与复数z1对应的向量OZ1，然后把向量OZ1绕 点O按逆时针方向旋转角 ，再把它的模变为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为 的向量OZ． OZ即为z1z2=3i所对应的向量． 8 【例4】如图，向量OZ 对应的复数为 ，把向量OZ绕点O按逆时针方向旋转120°，得到OZ′，求向量OZ′对应的复数（代数形式表示）． 9 复数除法运算是乘法运算的逆运算.根据复数乘法运算的三角表示，你能得出复数除法运算的三角表示吗？ 探究 这就是说，两个复数相除, 商的模等于被除数模除以除数的模所得的商, 商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 10 类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？ 探究 11 【例5】计算 并把结果化为代数形式． 12 计算： 题① ——复数三角形式的乘法 【解】 两个复数三角形式相乘，把模相乘作为积的模，把辐角相加作为积的辐角，若遇到复数的代数形式与三角形式混合相乘时，需将相混的复数统一成代数形式或三角形式，然后再进行复数的代数形式相乘或三角形式相乘，当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示. 补充例题 计算： 题② ——复数三角形式的除法 【解】 两个三角形式的复数相除，则商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，它的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.若出现复数的代数形式，先转化为复数的三角形式，再计算 题③ ——复数乘法、除法的几何意义 设 对应的向量为 ，将 绕点 按顺时针方向旋转60°，求所得向量对应的复数(用代数形式表示). 【解】将 绕点 按顺时针方向旋转60°所得的向量对应的复数为 计算时未化为标准三角形式 坑① 【错解】 本题错在 不是负数三角形式的标准式，应该化为 易错分析 【1】计算 计算时未化为标准三角形式 坑① 【正解】 【1】计算 易错分析 计算时未化为标准三角形式 坑① 【2】已知复数 所对应的向量 ，通过作图，画出下列复数 所对应 的向量 ° ① ° ② (1)乘数 ° 不是复数的三角形式，应该化成 这样才能应用复数乘法的几何意义来解题 【错解】 将 绕点 逆时针旋转30°，得到 ，如图① 将 绕点 逆时针旋转120°，再关于 轴作对 称，得到 ，如图② (2)旋转120°之后，取其反方向的向量，模不变，得到 计算时未化为标准三角形式 坑① 【2】已知复数 所对应的向量 ，通过作图，画出下列复数 所对应 的向量 ° ③ ° ④ 【正解】