6.2.3&6.2.4 组合与组合数 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

6.2.3 组合~6.2.4组合数 课程标准 课标解读 1.了解组合、组合数的意义，掌握常见的组合处理方法，会用组合的相关方法解决简单的组合问题.熟练运用组合数的相关公式及性质解决与组合有关的问题. 2.在实际问题中能区分排列与组合的关系，准确选择恰当的方法解决排列组合的相关问题. 通过本节课的学习，要求在掌握组合、组合数的意义基础上，能解决简单的组合问题.并能解决简单的排列组合综合问题. 考点一 组合概念的理解 考点二 组合公式的应用 （一）化简与求值 （二）与组合数有关的方程或不等式 （三）与组合数有关的证明 考点三 简单的组合问题 （一）枚举法在组合问题中的应用 （二）公式法在组合问题中的应用 考点四 有限制条件的组合问题 考点五 与几何图形有关的组合问题 考点六 排列、组合的综合应用 （一）排列组合的综合 （二）分组、分配问题 （1）整体均分 （2）部分均分 （3）不等分 （4）综合 （三）数字排列问题 知识点1 组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. 2．组合数定义及公式 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．其中C＝＝. 3．组合的性质： 性质1：C＝； 性质2：C＝. 【即学即练1】判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？ (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？ (4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 【即学即练2】从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是(　　) A．10 B．5 C．4 D．1 【即学即练3】从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积，任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________. 知识点2　排列与组合的关系 定义 计算公式 性质 联系 排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (n，m∈N*，且m≤n) (1)A＝n！； (2)0！＝1 C＝ 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示 C＝ (n，m∈N*，且m≤n) (1)C＝C＝1； (2)C＝C； (3)C＝C＋C 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 注：组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题. 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 考点一 组合概念的理解 解题方略： 排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可． (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 【例1-1】判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？ (2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本； (3)从7本不同的书中取出5本给某个学生． 变式1：以下四个问题中，属于组合问题的是（    ） A．从3个不同的小球中，取出2个小球排成一列 B．老师在排座次时将甲､乙两位同学安排为同桌 C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星 D．从13位司机中任选出两位分别去往甲､乙两地 考点二 组合公式的应用 解题方略： (1)组合数公式C＝一般用于计算，而组合数公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明． (2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*. (3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C＝C；②C＝C＋C. （1） 化简与求值 【例2-1】求值： (1)3C－2C； (2)C＋C. 变式1：计