专题10 勾股定理之大树折断模型综合应用（2大类型）-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（人教版）

专题10 勾股定理之大树折断模型综合应用（2大类型） 解题思路 “风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”意思是∶一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，则折断后的竹子高度为多少尺?（1丈=10尺） 【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长三尺，其余两边长度之和为 10尺. 【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55 尺. 【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x）尺. 由勾股定理得 x2＋32=（10—x）2，解得 x= 4.55. 答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺 此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x，通过勾股定理建立方程，求出答案. 【典例分析】 【典例1】如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底BC的12米处，则大树断裂之前的高度为（　　） A．9米 B．15米 C．21米 D．24米 【变式1-1】（秋•印江县期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．10米 B．15米 C．25米 D．30米 【变式1-2】（春•江岸区期末）小红在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如图）拉到岸边，花柄正好与水面成60°夹角，测得AB长1m，则荷花处水深OA为（　　） A．1m B．2m C．3m D．m 【典例2】如图，受台风影响，一棵高6m的大树折断，树的顶部落在离树根底部2m处，这棵树折断后有多高？ 【变式2-1】（2022秋•辉县市校级期末）如图1，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面5米处折断倒下，树顶落在离树根12米处，图2是这棵大树折断的示意图，则这棵大树在折断之前的高是（　　） A．20米 B．18米 C．16米 D．15米 【变式2-2】（春•凉州区校级月考）池塘中有一朵荷花，它直立在水中，荷花高出水面半尺处长着一朵红莲，一阵风吹来把荷花吹倒在一边，红莲倒在水面位置距荷花生长处水平距离为2尺，则池塘深（　　） A．3.75尺 B．3.25尺 C．4.25尺 D．3.5尺 【夯实基础】 1．（2021春•鄯善县期末）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为 　　m． 2．（秋•渠县校级期末）受台风影响，路边一棵大树在离地面6米处断裂（但未分离），大树顶落在离大树底部8米处，则大树折断之前高有 　　米． 3．受台风影响，一棵高18m的大树折断树顶部落在离树根底部6m处，这棵树折断后的高度为　 　． 4．（春•临海市期末）如图，一棵高为9m的大树折断后，大树顶端恰好落在离底端3m处，则折断处离地面的高度是　　m． 5．（2020秋•凤翔县期中）如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9米处折断倒下，树顶落在离树根12米处．大树在折断之前高多少？ 6．（2019春•北流市期中）如图，一棵大树在一次强台风中在距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，则这棵大树在折断前的高度为多少？ 7．（秋•泌阳县期末）如图，小明的家D距离大树底部A是9米，一次台风过后，大树在离地面3米的点B处折断，顶端着地处点C在AD上，又知BC恰好等于CD． （1）请用直尺和圆规作出点C的位置（保留作图痕迹，不必写作法）； （2）求大树折断前高度． 8．（秋•绍兴期中）受台风“云娜”影响，一千年古樟在离地面6米处断裂，大树顶部落在离大树底部8米处，损失惨重，问大树折断之前有多高？ 9．（2021春•永吉县期中）一棵高12m的大树被折断，折断处A距地面4.5m（点B为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离为6.5m，倒下的大树会砸到小轿车吗？通过计算说明理由． 10．（2022春•威县期末）如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即BC＝8，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC的长度）？ 11．（2021春•安陆市期中）强台风过境时，斜坡上一棵6m高的大树被刮断，已知斜坡中α＝30°，大树顶端A与底部C之间为2m，求这棵大树的折断处与底部的距离BC？ 12．（2020秋•新城区校级月考）如图，一棵大树在离地面3米，5米两处折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部6米处，求大树折断前的高度． 【能力提升】 13．（2022秋•南阳期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB