专题09 勾股定理之赵爽弦图模型综合应用（2大类型）-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（人教版）

专题09 勾股定理之赵爽弦图模型综合应用（2大类型） 专题说明 勾股定理的几种常见证明方法（赵爽弦图法、刘徽青朱出入法、欧几里得面积法等），理解证明思路；运用赵爽弦图法、欧几里得面积法、刘徽青朱出入法解决一些问题；体验知识的迁移和方法的运用过程，从而提高分析、类比的能力，提高解决问题的能力；感受勾股定理中折射出的数学文化，体验数学美。 解题思路 弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型. （一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH. （二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH. 【典例分析】 【类型一：内弦图模型】 【典例1】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝4，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．56 B．24 C．64 D．32 【变式1-1】（2022•鼓楼区校级二模）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝6，BC＝4，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．56 B．24 C．64 D．32 【变式1-2】（2022秋•锡山区期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【变式1-3】（2021春•饶平县校级期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝5，BE＝12，则EF的长是（　　） A．7 B．8 C．7 D．7 【类型二：外弦图模型】 【典例2】如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．30 【变式2-1】（2021春•梁山县期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（　　） A．12 B．15 C．20 D．25 【变式2-2】（2022秋•南岸区校级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，根据《周髀算经》的记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”．三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一种证明．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【夯实基础】 1．（2022秋•广饶县校级期末）如图①是美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，且外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，则该飞镖状图案的面积（　　） A．6 B．12 C．16 D．24 2．（2022•费县校级二模）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（2022秋•电白区期中）在北京召开的国际数学家大会会标，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形（如图所示），若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，较长的直角边为a，较短的直角边为b，则（a+b）2的值为（　　） A．13 B．19 C．25 D．169 4．（2021秋•乐山期末）如图，图（1）是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成．若较短的直角边BC＝5，将四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图（2）所示的“数学风车”，若△BCD的周长是30，则这个风车的外围周长是（　　） A．76 B．57