1.4.1-1.4.2 单位圆与任意角的正弦、余弦函数的定义与基本性质（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

1.4.1-1.4.2单位圆与任意角的正弦、余弦函数的定义与基本性质 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：由单位圆求正弦函数值、余弦函数值 必会题型二：由角的终边上的点求角的三角函数值 必会题型三：正弦函数值、余弦函数值的符号及范围 必会题型四：正弦函数、余弦函数综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 单位圆与任意角的正弦函数、余函数定义 1．利用单位圆定义任意角的正弦函数和余弦函数 如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v叫作角α的正弦函数，记作v＝sin α；点P的横坐标u叫作角α的余弦函数，记作u＝cos α． 通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角形y＝sin x和y＝cos x，它们的定义域为全体实数，值域为[－1,1]． 2．利用角的终边上一点的坐标定义正弦函数、余弦函数 利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数如下：如图所示，设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，那么： (1)比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝． (2)比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝． 3．正弦函数、余弦函数在各象限的符号 象限 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 必会知识二 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 如图观察，‍设任意角‍‍的终边与单位圆交于‍点‍，‍当自变量‍‍变化时，‍点‍‍的横坐标、纵‍坐标也在变化．‍因此，‍根据正弦函数‍‍和余‍弦函数‍‍的定义，‍不难看出它们具有以下基‍本性质． 1．定义域：如图，正弦函数、余弦函数的定义域均是‍． 2．最大(小)值、值域：当自变量‍‍时，‍． 当‍‍时，‍正弦函数‍‍取得最大值‍1‍； ‍当‍‍时，‍正弦函数取得最小值‍． 当‍‍时，‍余弦函数‍‍取得最大值‍1‍；‍ 当‍，‍‍时，‍余弦函数取得最小值‍． 因为函数‍‍均能取到‍‍和‍1‍之间的任意值，‍所以它们的‍值域均‍． 3．周期性：根据正弦函数、余弦函数的定义‍(如图)，‍有‍终边相同的角的正弦函数值相等，‍即对任意‍，‍； 终边相同的角的余弦函数值相等，‍即对任‍意‍． 上述两个等式说明：‍对于任意一个角‍，‍每增加‍的整数倍，‍其正弦函数值、余弦函数值均不变，所以正弦函数‍‍和‍余弦函数‍‍均是周期函数．‍对任何‍‍且‍‍均是它们的‍周期，最小正周期为‍‍周期性是正弦函数、余弦函数最重要的性质．‍ 4．单调性‍：根据正弦函数的定义，‍在单位圆中，‍如图，‍当角‍‍由‍‍增加到‍‍时，‍‍的值由‍‍增加到‍1‍；‍如图‍，‍当角‍‍由‍‍增加到‍‍时，‍‍的值由‍1‍减小到‍．‍因此，‍正弦函数在区间‍‍上单调递增，‍在区间‍‍上单调递减． 由正弦函数‍的周期性可知，‍对任意‍的‍，‍正弦函数在区间‍‍上单调递增，‍在区间‍‍上单调‍递减． 同理可得，‍余弦函数在区间‍‍上单调递增，‍在区间‍‍上单调递减． 必会知识三 利用单位圆解形如‍‍或‍‍或‍‍的不等式 1．解形如‍‍或‍‍的不等式的具体方法如下： (1)‍如图，‍画出单位圆； (2)‍在‍‍轴上截取‍，‍过点‍‍作‍‍轴的垂线，‍交单位圆于‍‍两点，‍作射线 (3)‍写出射线‍‍与‍‍对应的角； (4)‍图中阴影部分即为满足不等式‍‍的角‍‍的终边的范围，剩余部分即为满足不等式‍‍的角‍‍的终边‍的范围． 2．解形如‍‍或‍‍的不等式‍的具体方法如下： (1)‍如图，‍画出单位圆； (2)‍在‍‍轴上截取‍，‍过点‍‍作‍‍轴的垂线，‍交单位圆于‍‍两点，‍作射线‍； (3)‍写出射线‍‍与‍‍对应的角； (4)‍图中阴影部分即为满足不等式‍‍的角‍‍的终边的范围，剩余部分即为满足不等式‍‍的角‍‍的终边的范围． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：由单位圆求正弦函数值、余弦函数值 1．（2023秋·四川凉山·高一宁南中学校考期末）已知点是角α的终边与单位圆的交点，则（       ） A． B． C． D． 2．（2022秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知角的终边上一点的坐标为，则角的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考期末）已知角的终边与单位圆的交点为，则（    ） A． B． C． D． 4．（