04 导数与函数的极值、最值 同步复习讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 04 导数与函数的极值、最值 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0 x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0 图象 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 知识链接02 函数的最值与导数 （1）函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． （2）求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 知识链接03 常用结论 （1）对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在 x＝x0处有极值的必要不充分条件． （2）若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值． （3）若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值． （4）若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 知识链接04 利用导数解决生活中的实际应用问题的一般步骤 ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 利用导数求函数的极值 （1）如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为________个． （2）设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)， 且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) （3）(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．f(x)有两个极值点 B．f(0)为函数的极大值 C．f(x)有两个极小值 D．f(－1)为f(x)的极小值 （4）函数f(x)＝2x－xln x的极值是________． （5）函数f(x)＝ex(x－1)－eax2，a＜0的极小值________． （6）已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值． 典例剖析02 利用函数的极值求参数的值或取值范围 （1）已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________. （2）若函数f(x)的导数f′(x)＝(x－k)k，k≥1，k∈Z，已知x＝k是函数f(x)的极大值点，则k＝ . （3）已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实数a的取值范围是________． （4）函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是________． （5）若函数f(x)＝x2－x＋aln x有极值，则实数a的取值范围是________． （6）若f(x)＝x2－x＋aln x在[1，＋∞)上有极值点，则实数a的取值范围为______． （7）已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________． 　 （8）已知函数f(x)＝－a有两个零点，则实数a的取值范围是________． 典例剖析03 利用导数求函数的最值 （1）函数f(x)＝4x－ln x的最小值为________． （2）函数g(x)＝ln x＋x2－3x在区间[1，e]上的最大值________． （3）函数y＝在[0,2]上的最大值是________． （4）若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________． （5）已知函数f(x)＝sin x－x，x∈[0，π]，cos x0＝，x0∈[0，π]． 则下面命题中真命题的序号是________． ①f(x)的最大值为f(x0)； ②f(x)的最小值为f(x0)； ③f(x)在[0，x0]上是减函数； ④f(x0)为f(x)的极大值． （6）已知函数f(x)＝＋kln x，k<，求函数f(x)在上的最大值和最小值． （7）求函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)在区间[1，e]上的最小值h(a)． （8）已知f(x