01 导数的概念及运算 同步复习讲义-2022-2023学年人教A版（2019）高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 01 导数的概念及运算 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 导数的概念 （1）一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或， 即f′(x0)＝ ＝ . （2）如果y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为y＝f(x)在开区间(a，b)内的导函数．简称导数，记作f′(x)或y′. （3）函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识链接02 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识链接03 导数的运算法则 若u′(x)，v′(x)存在，则有： [u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)； [u(x) ·v(x)]′＝u′(x) ·v(x)＋u(x) ·v′(x)； ′＝(v(x)≠0)； [c ·u(x)]′＝c· u′(x)． 知识链接04 复合函数的定义及其导数 （1）一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． （2）复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为： y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 知识链接05 常用结论 （1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数． 周期函数的导数还是周期函数． （2）函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 导数的运算 （1）函数y＝xcos x－sin x的导数为________． （2）f(x)＝x(2 021＋ln x)，若f′(x0)＝2 022，则x0＝________． （3）已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝________． （4）已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，则f(1)＝________． 　 （5）求下列函数的导数： ①y＝ln x＋； ②y＝； ③f(x)＝． 典例剖析02 导数的几何意义 （1）(多选)f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是(　　) A．f′(3)>f′(2) B．f′(3)<f′(2) C．f(3)－f(2)>f′(3) D．f(3)－f(2)<f′(2) （2）已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________． （3）已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　) （4）函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 ． （5）已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b， 则a＝______，b＝_______． （6）y＝在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为_______． （7）设函数f(x)＝x3＋(a－1)·x2＋ax，若f(x)为奇函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为 ． （8）已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为 ． （9）函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线