8.6.2 直线与平面垂直（第2课时直线与平面垂直的性质）-2022-2023学年高一数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019必修第二册）

8.6.2 直线与平面垂直（第2课时）直线与平面垂直的性质 课程目标与核心素养 课程目标 核心素养 1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题. 2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力． 1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化； 2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离. 3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系. 概念梳理 1、直线与平面平行的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行. 图形语言 符号语言 a⊥α，且 b⊥α⇒a∥b 作用 ①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 常用结论: (1)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直. (2)已知若平面外的直线b与直线垂直，则. (3)已知. 2．空间距离 (1)直线到平面的距离 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离． (2)平面与平面之间的距离如果两个平面互相平行，那么其中一个平面上任意点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做两个平面间的距离． 【概念辨析】 1：垂直于同一平面的两条直线一定共面。 2：是不是任意的直线与平面、平面与平面间都有距离。 回归教材 1. 已知直线 和平面 , 且 , 则 与 的位置关系是 【解析】 或 2. 已知 两点在平面 的同侧, 且它们与 的距离相等, 求证: 直线 . 【解析】过点分别作, 分别交于点. 连接.与距离相等, 即.又 ,, 四边形 为平行四边形,, 又 ,. 3. 如图, 和都垂直于平面, 且 是的中点, 求证: 平面 . 【证明】证法一: 取 中点 , 连接 . 是 中点,则 . 又 都垂直于平面 ,, 四边形 为平行四边形,则 .又 是 中点, .又 .则平面 平面 .又 平面 平面 . 证法二: 取 的中点 . 连接 .,又 ,, 四边形 为平行四边形,.又 平面 , 平面 , 平面 . 4. 求证: 垂直于同一条直线的两个平面互相平行. (提示: 过这条直线作平面与这两个平面相交, 则它们的交线平行.) 【证明】设平面 都与直线 垂直,过直线 作平面γ, 与 分别相交于直线.,又 都在平面γ上, , 分别是平面 上任意两条交线,. 题型讲解 探究（一）直线与平面垂直性质的应用 【典例1】如图，正方体 中， 与异面直线 都垂直相交. 求证: . 【证明】如图所示，连接 .因为 平面 平面 ，所以 . 又 ，所以 平面 . 又 平面 ，所以 .同理可证 .又 ，所以 平面.因为 ， ，又 ，所以 .又 ，所以 平面 .所以 . 【方法总结】关于线面垂直性质定理的应用 (1)在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面． (2)注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系． 【补充训练1】如图所示, 在正方体 中, 是 上一点, 是 的中点, 平面 ，下列说法正确的是（ ） A. 与 是相交直线 B. C. 与 是异面直线 D.A、B、C都有可能 【解析】因为四边形 为正方形, 所以 。又因为 平面 , 所以 。 因为 , 所以 平面 。 又因为 平面 , 所以 。故选B 【补充训练2】如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E 是 PD 的中点，M，N 分别在 AB，PC 上，且 MN⊥AB，MN⊥PC.则AE与MN的关系是 （填“平行”、“垂直”、或“异面”） 【解析】∵AB⊥平面 PAD，AE⊂平面 PAD，∴AE⊥AB，又 AB∥CD，∴AE⊥CD. ∵AD＝AP，E 是 PD 的中点，∴AE⊥PD. 又 CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面 PCD，∴AE⊥平面 PCD. ∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面 PCD，∴MN⊥平面 PCD，∴AE∥MN. 【补充训练3】（多选）已知 a，b，c 为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题正确的是( ) A.a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b B.a⊥b，a⊥α⇒b∥α C.a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c D.a⊥α，β⊥α⇒a∥β 【解析】A显然正确；B中b⊂α有可能成立，故B不正确；C正确；D中a⊂β有可能成立，故D不正确.故选AC 【方法总结】1.线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置