6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理应用举例（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

6.4.3 课时3 余弦定理、正弦定理应用举例 重点：正弦定理、余弦定理在解决距离、高度、角度等实际问题中的应用； 难点：理解题意，从实际问题中抽象出三角形模型，并综合运用正弦定理和余弦定理解三角形 一、基线 1、定义：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。 2、性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量既有较高的精确度，一般来说，基线越长，测量的精确度高越高。 二、实际测量中的有关名称、术语： 1、仰角与俯角：（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 （2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角 （指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°） 3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 三、利用解三角形解决实际问题的方法步骤 1、解决方法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解。 2、应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤 （1）分析：理解题意，分清已知与位置，画出示意图； （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型中； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解。 四、测量距离问题常见题型及解决办法 1、常见题型与解决方法 （1）两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝. （2）两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB. （3）两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB. 2、求距离问题的注意事项 （1）选角或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解；若其他量位置，则把未知量放在另一确定的三角形中求解； （2）确定正弦定理还是余弦定理，如都可以，就选便于计算的定理。 五、测量高度问题需要注意3个问题 1、在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． 2、在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错． 3、注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 六、测量角度问题需要注意3个问题 1、测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义； 2、求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值； 3、在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中也要注意体会正、余弦定理综合使用的优点。 题型一 测量距离问题 【例1】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（ ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式1-1】（2022春·北京大兴·高一统考期末）如图，两点在河的两岸，在同侧的河岸边选取点，测得的距离，则两点间的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2022春·安徽蚌埠·高一统考期末）如图，点，在无法到达的河对岸，为测量出，两点间的距离，在河岸边选取，两个观测点，测得，，，，则，两点之间的距离为____________（结果用m表示）. 【变式1-3】（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考阶段练习）一条河流从某城市中穿过，其中一河段的两岸基本上是平行的，根据城建工程计划，需要测量出该河段的宽度，现在一侧岸边选取两点，，并测得，选取对岸一目标点并测得，，，则该段河流的宽度为（ ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2022春·四川广安·高一统考期末）如图，从气球上测得正前方的河流的两岸、的俯角分别