最短路径问题专练 课件- 2022-2023学年青岛版初中数学九年级下学期

青岛版初中数学九年级下学期 最短路径问题专练 潍坊市寒亭区实验中学 陈洁 最短路径问题专练 目标导航 有的放矢 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，问他一个百思不得其解的问题. 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它，从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题流传至今. “将军饮马”模型 两定一动型（同侧） P PA+PB=PA1+PB 构建模型 形成策略 例题1. 直线 与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线 与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，点P是抛物线的对称轴上的一点． （1）能否在抛物线的对称轴上找一点P，使点A到点P，再到点B的运动路径最短，即PA+PB最小，求得此时点P坐标及最小值； 思路分析： y x O D E A B C （0,1） (-2,0) (4,3) (1,0) (2,0) x= ∙ ∙ ∙ ∙ P ∙ ∙ ∙ “将军饮马”与二次函数结合考查时，注意把“将军饮马”模型抽离出来分析，然后再放到二次函数背景下即可解决最值问题. （0,1） A E P (1,0) (2,0) B C (-2,0) D 构建模型 形成策略 （2）若二次函数对称轴与x轴交点为点F, 能否在抛物线的对称轴上找一点P，使点P到点A，到点F运动路径最短,即AP+AF的值最小，求得此时点P坐标. （0,1） (-2,0) (4,3) (1,0) (2,0) 构建模型 形成策略 y x O D E A B C （0,1） (-2,0) (4,3) (1,0) (2,0) ∙ ∙ P F 思路分析：   （3）能否在抛物线的对称轴上找一点P，使得∣PA-PB∣最大，求得此时点P坐标. 思路分析： y x O D E A B C （0,1） (-2,0) (4,3) (1,0) (2,0) x= ∙ ∙ ∙ P 由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、P在同一直线上时∣PA-PB∣的值最大,可求得AB的解折式为y=-x+1,将对称轴的数值代入即可求得点P的坐标. 构建模型 形成策略 （0,1） (-2,0) A D P B (1,0) C (2,0) P 共线原理 最短路径 总结规律 （1）两点在一条直线同侧求线段和的最小值为“将军饮马”问题，依据轴对称性作出图形，求出一次函数表达式再求点的坐标； （2）求线段差的最大值或动点到两定点距离差的最大值，可考虑依据三角形三边关系进行分析，应用“共线”原理求坐标或最值； （3）注意“垂线段最短”在求最短路径问题或最值问题中的应用，注意不同情境中基本数学模型构建。 最短路径 化曲为直 一个圆柱体的底面周长为24cm，母线AB为4cm、BC是上底的直径.一只蚂蚁从下底面的点A处出发爬行到上底面的点C处，如果它沿圆柱体的侧面爬行，其最短路径长是多少(精确到0.1cm)? B C A 思路分析：   D A B C D A1 B1 B D A1 B1 两点之间线段最短 化曲为直 转化思想  例例例 最短路径 拓展提升   P Q B1 A1 最短路径 综合实践 l1 l2 . A B . . B1 C D 河流较宽（河宽不可忽略），河的两岸互相平行，要在河上修建一座与河岸垂直的桥CD，在哪里建桥使得A，B两村之间的路径A—C—D—B最短？请你设计一个解决问题的方案. 最短路径 综合实践 . A B 有一段“L”形的河流，河的西侧有村庄A,河的南侧有村庄B.如果要在南北走向的河道上和东西走向的河道上，分别修建一座与河岸垂直的桥梁，再修一条连接两桥的道路，使A,B两村之间经过这两座桥梁的路径最短.两座桥的位置应当选在何处？ . A1 B1 C D E F 最短路径 挑战自我 A,B,C是三个村庄，它们恰好是正方形ABCD的三个顶点，现在要在公路BD某处P的附近修建一座农产品收购站.当点P选在何处时AP+BP+CP的值最小？试利用图形的旋转，探索点P的位置. C A B D A1 P1 P 点P的确定方法：①将线段BA绕着点B逆时针旋转60°得到BA1; ②连接A1C交BD于点P，则点P就是符合条件的点. 回顾模型 形成体系 谢谢观看 版本：青岛版 课题：最短路径问题专练 作者：潍坊市寒亭区实验中学 陈洁 年级：初中数学九年级下学期 $