7.3.1 离散型随机变量的均值（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.3.1　离散型随机变量的均值 (1)离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的指标； (2)由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位； (3)均值是一个常数，在大量试验下，它总是稳定的，不具有随机性． 2．离散型随机变量均值的性质 若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b，则E(Y)＝ . aE(X)＋b 对于均值的性质，特别地，有： 特例 均值 意义 a＝0 E(b)＝b 常数的均值就是这个常数本身 a＝1 E(X＋b)＝E(X)＋b 随机变量与常数之和的均值等于随机变量的均值与这个常数的和 b＝0 E(aX)＝aE(X) 常数与随机变量的乘积的均值等于这个常数与随机变量的均值的乘积 另外，对于随机变量X，Y，我们还有如下结论：E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)；若X，Y相互独立，则E(X·Y)＝E(X)·E(Y)． 1．随机变量X的分布列为： 则其均值E(X)的值为 (　 ) A．2.4 B．1.9 C．1.5 D．1.4 解析：由分布列的性质，得m＝0.3，由均值的定义，得E(X)＝－1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝1.4. 答案：D　 X －1 3 5 P 0.5 m 0.2 4．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值为________． [典例]　(1)随机变量X的分布列如表，则E(5X＋4)＝ (　 ) A．16　 B．11　　C．2.2　 D．2.3 (2)某射手射击所得环数ξ的分布列如表： 已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为________． X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 与离散型随机变量均值的性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键是由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)．　　 [对点训练] 已知随机变量X的分布列如表： (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． [典例]　某运动员投篮命中率为p＝0.6，求投篮1次时命中次数X的均值． [解]　法一：投篮1次，命中次数X的分布列为 则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6. 法二：由题意，命中次数X服从两点分布， ∴E(X)＝p＝0.6. X 0 1 P 0.4 0.6 两点分布的均值 若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 ∴E(X)＝p.　　 X 0 1 P 1－p p [对点训练] 设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，若关于x的方程ax2－x＋b＝0(a≠0)的两根之积为3，则E(X)＝________. X 0 1 P a b 求离散型随机变量的均值的一般步骤 (1)确定取值：理解随机变量的意义，写出随机变量的所有可能的取值； (2)求概率：计算出P(X＝k)； (3)写分布列：写出X的分布列； (4)求均值：利用E(X)的计算公式计算E(X)．其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．　　 [对点训练] 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如表所示： 若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. 周一 无雨 无雨 有雨 有雨 周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X(单位：万元)的分布列及基地的预期收益； (2)该基地是否应该额外聘请工人，请说明理由． 解：(1)设下周一无雨的概率为p， 由题意知，p2＝0.36，p＝0.6， 基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5， 则P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24， P(X＝10)＝0.24，P(X＝7.5)＝0.16， 所以基地收益X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益E(X)＝20×0.36＋15×0.24＋10×0.24＋7.5×0.16＝14.4(万元)， 所以基地的预期收益为14.4万元． (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元， 则其预期收益E(Y)＝20×0.6＋10×0.4－a＝16－a(万元)，E(Y)－E(X)＝1.6－a. 综上，当额外聘请工人的成本高