选择性必修三 综合测试【培优篇】（作业）-2022-2023学年数学人教B版选择性必修第三册（课时作业+单元检测+综合测试）

选择性必修三 综合测试【培优篇】 答题时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（每题5分） 1．若数列满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 4．若函数在其定义域上只有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．设，则（    ） A． B． C． D． 8．已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，漏选得2分，错选0分） 9．下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 10．已知数列满足，，则下列各数是的项的有（    ） A． B． C． D． 11．等差数列中，，公差，且，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（    ） A．函数有3个不动点 B．函数至多有两个不动点 C．若函数没有不动点，则方程无实根 D．设函数(，e为自然对数的底数)，若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是 三、填空题（每题5分） 13．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________. 14．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______． 15．已知在各项均为正的数列中，，，，则___________. 16．已知函数，若不等式的解集中恰有两个非负整数，则实数k的取值范围为______________． 四、解答题（17题10分，其余每题12分） 17．在等比数列中，已知，．求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前5项和． 18．已知数列中，，且满足，． （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设为数列的前n项和，求满足的n的最小值． 19．已知数列满足，． (1) 求数列的通项公式； (2) 求数列的前项和． 20．已知函数， （1）当时，求函数的单调区间与极值； （2）是否存在正实数，使得函数在区间上为减函数？若存在，请求的取值范围；若不存在，请说明理由. 21．已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上有唯一的极值点，求的取值范围，并证明：． 22．已知. （1）求在处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 选择性必修三 综合测试【培优篇】 答题时间：120分钟 试卷满分：150分 一、单选题（每题5分） 1．若数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得. 2．已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于是等比数列，所以也成等比数列， 其中，所以， 所以. 3．若数列满足，则（    ） A．2 B．6 C．12 D．20 【答案】D 【详解】由得， ， . 4．若函数在其定义域上只有一个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，则在上单调递增，且 ∴在内存在唯一零点 则当时，无零点 ，令，则或（舍去） ∴在上单调递减，在上单调递增 则，即 5．若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知. 6．已知函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为 所以 所以 7．设，则（    ）